ベクトル解析の公式

質問

今、流体解析のナビエ・ストークス方程式を扱っているのですが
その中で

(V・∇)V=∇1/2|V|^2-V×(∇×V)

になることを使って式の展開をしたいのですが
どうして上が成り立つのかわかりません。
V×(∇×V)から展開していけばなるのでしょうか？
教えてください。

回答No.1

Ae610 · ベストアンサー

∇(A・B)=A×rotB+B×rotA+(A∇)B+(B∇)A　
（・はスカラー積、×はベクトル積）というベクトル公式を利用する。
A=V,B=Vと書き換えて
∇(V・V)=∇|V|^2=2[V×rotV+(V∇)V]
よって、1/2∇|V|^2=V×rotV+(V∇)V となる。

お礼

その公式を用いるのですね。ありがとうございました。

回答No.2

Meowth

V×(∇×V)から展開していけばできます。

ベクトル3重積の公式
A×(B×C)
=(A・C)B-(A・B)C
からはじめる。
[V×(∇×V)
で演算子がBの位置にあるから
後半のVに演算子が作用するように位置をかえると]
=B(A・C)-(A・B)C
演算子が作用するほう(後ろのV)をV[=C]、
作用しないほう（前のV)をV0[=A]とおいて
代入すると
=∇(V0・V)-(V0・∇)V
前半は両方に作用した場合２つでてくるから...
後半は、V0には作用しないから添え字をとってもいい
=1/2∇(V・V)-(V・∇)V
1/2を中にいれれば
=∇(1/2|V|^2)-(V・∇)V

お礼

丁寧にありがとうございました。