微分の問題教えてください。

質問

x^2+2y^2+3z^2-2xy-2yz=2 の時、ｚの極大、極小を求めよ。という問題で、
まず、ｚを順番に並べて
　3z^2-2yz+x^2+2y^2-2xy-2=0　
にして、この式全体をＹとおいて、
Ｙをｚについて微分して
Ｙ’＝6z-2y
までは、自分でやってみたんですが、この後がどうすればよいのかわかりません。
教えてください、お願いします。

回答No.1

springside · ベストアンサー

求めたいのは「xとyが変化するときのzの極大、極小」なので、zについて微分するのではなく、「zをxとyについて微分する（正確には、xとyについて、それぞれ偏微分する）」のが正しいと思います。

今、zをxで偏微分したものをz'x、yで偏微分したものをz'yと置きます。
与式をxで偏微分すると、
　x+3zz'x-y-yz'x=0
となりますので、z'x=(y-x)/(3z-y)です。これを=0と置いて、x=yを得ます。
与式をyで偏微分すると、
　2y+3zz'y-x-z-yz'y=0
となりますので、z'y=(2y-x-z)/(3z-y)です。これを=0と置いて、2y-x-z=0を得ます。

以上より、x=y=zの時に極値をとる可能性があるので、x=y=zを与式に代入すると、x=y=z=±１を得ます。
つまり、(x,y,z)=(1,1,1)、(-1,-1,-1）の時に極値の可能性があるのですが、その２点が「本当に極値なのか」、「極値だとすれば、極大値なのか極小値なのか」については、別途判別する必要があります。
判別のためには、zをもう一回xとyで偏微分して、それぞれの値を代入して調べることになりますが、それは下記のHPをご覧ください。
http://www.toyama-mpu.ac.jp/la/math/kyouzai/max-min/index.html#theorem

だいぶ面倒なことになってしまいました。もっとうまい方法があると思います。

参考URL：

http://www.toyama-mpu.ac.jp/la/math/kyouzai/max-min/index.html#theorem

お礼

極大・極小のことが無事解決しました(^^)
参考まで出していただいて、ありがとうございました。
助かりました。

補足

途中まで、わかりました(^^)
ですが、極大と、極小の判別の仕方が、ＨＰを見ても、どうしてもわかりません(>_<)。もしよろしければ、そこのところを、教えてくれませんか?すみませんm(__)m

回答No.2

good777

*****■問題■***********************************************************************************
x^2+2y^2+3z^2-2xy-2yz=2 の時、ｚの極大、極小を求めよ。

という問題で、
まず、ｚを順番に並べて
　3z^2-2yz+x^2+2y^2-2xy-2=0　
にして、この式全体をＹとおいて、
Ｙをｚについて微分して
Ｙ’＝6z-2y
までは、自分でやってみたんですが、この後がどうすればよいのかわかりません。
************************************************************************************************
★解★
x^2+2y^2+3z^2-2xy-2yz=2 の
大体の様子をつかむために、
平面ｚ＝0で切断すると、x^2+2y^2-2xy=2
平面ｙ＝0で切断すると、x^2+3z^2=2
平面ｘ＝0で切断すると、2y^2+3z^2-2xy=2
いずれも、楕円になるので,
x^2+2y^2+3z^2-2xy-2yz=2 は楕円体の表面である。

よって、(x,y,z)=(1,1,1)、(-1,-1,-1）の時に極値をもち、Ｚの値が大きい方が極大値(最大値)、
小さい方が極小値(最小値)である。

■答え■　極大値(最大値)ｚ＝1、極小値(最小値)ｚ＝-1

お礼

図形で式を考えるのは、新鮮で、そうか！っと納得しました。
あと、極大・極小についても、あっ、そうか～と納得、解決しました。
わかりやすい解答ありがとうございました。(^^)