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（問）n^２ －1が素数となるような自然数nをすべて求めよ。
（解）ｎ^２ －1＝（ｎ－１）（ｎ＋１）と因数分解できるので n=２のときは、、１×３＝３ n=３のときは、、２×４＝８ n=４のときは、、３×５＝１５ … となるため、ｎ＝２のとき以外は、素数とはならない。 よって、n^２ －1が素数となるような自然数nは、２のみである。 と考えたのですが、問題はあるでしょうか? 助言頂きたくお願いします。
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＞ｎ＝ｋのときは、（ｋ－１）（ｋ＋１） ＞となる。 つまり、この先がほしかったのですが・・・ あるパターンの回答、と言うことでお読みください。 [証明] (与式) = (n - 1)(n + 1) とできる。 ・n = 1のとき、0 × 2 = 0 より不適。 ・n = 2のとき、1 × 3 = 3 となり、題意を満たす。 ・n = 3のとき、2 × 4 = 8 なので、題意を満たさない。 ・n = kのとき(kは3以上の自然数)、(k - 1)(k + 1)は (k - 1) ≧ 2 かつ (k + 1) ≧ 4となり、1より大きな2つの自然数の積となるため、(k - 1)(k + 1)は合成数(＝素数でない)となる。 ・n = k + 1のとき、 {(k + 1) - 1}{(k + 1) + 1} = (K + 0)(k + 2) = k(k + 2) であり、k ≧ 3 かつ (k + 2) ≧ 5より、その積 k(k + 2)も合成数である。 ゆえに、n = k + 1のときも不適。 よって帰納的に、k ≧ 3の自然数について、与式は合成数となる。 以上より、n = 2の時のみ、与式は素数となる。(証明終) ひとまず、「その先」は全て題意を満たさないことを言いたいので、数学的帰納法を使うと簡単ではないかと思いました。 ＞素数の定義は、その数自身と1以外に約数を持たないであるため これをちゃんと言うのは意外と難しいかもしれないので、『1より大きな自然数の積であれば、素数にならない』と言い換えた方が証明しやすいかもしれません。 以上、参考になりましたら。
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- Gab_km
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＞ｎ^２ －1＝（ｎ－１）（ｎ＋１）と因数分解できるので 上記の関係が言えているから、ほとんど答えに近いところにいますが、 ＞となるため、ｎ＝２のとき以外は、素数とはならない。 ANO.1の方の意見にもありますが、これではその先がどうなっているか分かりません。 なので、「その先」もそうであることを証明してください。 nについて順に考えているのですから、自ずと証明手法は見えてくるはずです。
お礼
助言ありがとうございます。 ｎ^２ －1＝（ｎ－１）（ｎ＋１）…(1) と因数分解できる。 n=１のときは、、０×２＝０ n=２のときは、、１×３＝３ n=３のときは、、２×４＝８ n=４のときは、、３×５＝１５ … ｎ＝ｋのときは、（ｋ－１）（ｋ＋１） となる。 素数の定義は、その数自身と1以外に約数を持たないであるため ｎ^２ －1の約数は、(1)式より、（ｎ－１）と（ｎ＋１）である。 すなわち、（ｎ－１）、（ｎ＋１）のいずれかが１でなければ、素数とはならないため、ｎ＝２のとき以外は、素数とはならない。 よって、n^２ －1が素数となるような自然数nは、２のみである。 上記のように解き直しました。 助言をお願い致します。
- Ichitsubo
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漏れがある気がします。 n＝5以降に触れていないからです。 素数の定義「その数自身と1以外に約数を持たない」を用います。 つまり、n^2-1が素数であるということはその２つの約数であるn-1とn+1はどちらか片方が1であると言うことです。
補足
助言ありがとうございます。 ｎ^２ －1＝（ｎ－１）（ｎ＋１）…(1) と因数分解できる。 n=１のときは、、０×２＝０ n=２のときは、、１×３＝３ n=３のときは、、２×４＝８ n=４のときは、、３×５＝１５ … ｎ＝ｋのときは、（ｋ－１）（ｋ＋１） となる。 素数の定義は、その数自身と1以外に約数を持たないであるため ｎ^２ －1の約数は、(1)式より、（ｎ－１）と（ｎ＋１）である。 すなわち、（ｎ－１）、（ｎ＋１）のいずれかが１でなければ、素数とはならないため、ｎ＝２のとき以外は、素数とはならない。 よって、n^２ －1が素数となるような自然数nは、２のみである。 上記のように解き直しました。 助言をお願い致します。
お礼
ありがとうございました。 帰納法を使う方法について勉強になりました。