三角関数を教えてください

質問

問)－π/２≦θ≦π/２のとき、sin＾２θ＋sinθはθ＝(　Ａ　)において最大値(　Ｂ　)をとる。Ａ・Ｂに適切な数値をいれよ。
です・・・
cos＾２θ＋sinθ＝１－sin＾２θ＋sinθまではわかったのですが、範囲がわかりません。回答には、－π/２≦θ≦π/２より－１≦ｘ≦１と書いてあるのですが、なぜ－１≦ｘ≦１になるのですか。

回答No.3

leap_day · ベストアンサー

こんにちは

＞cos＾２θ＋sinθ＝１－sin＾２θ＋sinθ
この部分よく分からないのですが・・・（－－；）
もしかして問題文がsin^2θ＋sinθでなくcos^2θ+sinθ？
そちらでやりますね

cos^2θ+sinθ = (1-sin^2θ)+sinθ
sinθをXとおくと
1 - X^2 + X = -(X^2-X) + 1
=-{(X^2 - 2*(1/2)X + 1/4) - 1/4] + 1
=-(X-1/2)^2 + 1/4 + 1
=-(X-1/2)^2 + 5/4

これは頂点(1/2,5/4)で上に凸のグラフ

特に範囲が決まっていないのであればここで最大値が求まるのですが
初めに　－π/２≦θ≦π/２のとき　と定義されているのでX、つまりsinθの範囲を求めておかないといけません(一般に『sinθ=Xとおくと』の後に付け加えます）
すぐに分かるときは良いのですが分からないときはグラフを書いてみましょう
http://alg.cias.osakafu-u.ac.jp/webMathematica/HighSchool/tri_graph/sin.jsp
この場所に書けないのでこのサイトをお借りして（ｘを－π/２≦θ≦π/２、個数を300としてください）

グラフを見ると分かるように－π/２≦θ≦π/２の範囲内でsinθの値は1から－1となります　－１≦sinθ≦１
sinθ=Xとおいたので　－１≦ｘ≦１

で先程求めた　-(X-1/2)^2 + 5/4　のグラフにおいて　－１≦ｘ≦１　の範囲で最大値を求めます(今回はたまたま頂点が範囲内に入っていたようですね（＾＾）

X=(sinθ)=1/2のとき　最大値 5/4
sinθ=1/2　のときのθは　(－π/２≦θ≦π/２なので） π/6

回答No.4

shaq

単位円を書くと分かりやすいと思います。
単位円ではsinの値はy座標を見ます。
今の場合－π/２≦θ≦π/２ですので単位円の右側の半円。
単位円は半径1の円なので、図から-1≦sinθ≦1です。
慣れれば図を書かなくても分かるようになると思います。

参考までに0≦θ≦πだったら、単位円の上側の半円となるので
sinθの範囲は0≦sinθ≦1となります。ちなみにcosθの範囲はx座標に注目して-1≦cosθ≦1です。

回答No.2

jamf0421

もとの式でsinθ=xを置いただけではありませんか？このとき-π/2<=θ<=π/2ならばsinは-π/2で-1, π/2で1をとります。
問題はy=x^2+x=(x+1/2)^2-1/4のグラフが-1<=x<=1のどこで最大を取るかということに帰着されます。

回答No.1

masato0703

こんにちは
SINθ＝Xとおくと
変数θは
－π/２≦θ≦π/２
の範囲を動くとき
変数Xは
－１≦ｘ≦１
の範囲を動くので。
わからなかったらまた質問してください。