瞬間部分積分に使われるている定理

質問

よろしくお願いします。
今日、瞬間部分積分を習ったのですが、そのときにこれは
大学一年生の時に学ぶものを一部かいつまんだものだよと
いう話がありました。
そこで質問なのですが瞬間部分積分はなんという定理をもとに
しているものなのでしょうか？ご教授よろしくお願いします。

回答No.6

arrysthmia · ベストアンサー

＞ ｆ・g の積分は ｆ・g*-ｆ'・g**＋ｆ''・g*** みたいになるやつです

なりません。

(ｆ・g* - ｆ'・g** ＋ ｆ''・g***) ' = f・g + f'''・g*** ≠ f・g
であることは、自分で確認できますね？
右辺の最後に出てくる f'''・g*** の項を打ち消すためには、
左辺に更にもう一項 - f'''・g**** を付け加えざるを得ず、その結果、
また余計な項 - f''''・g**** が生じてしまいます。
この連鎖には、終わりがありません。

これを際限なく続けると、
∫f・g = Σ[k=0→∞] (-1)^k (f に k 回 ') (g に k+1 回 *)
という級数展開を生じますが、右辺の Σ は収束するのか？とか、
いろいろ問題があります。
この辺の問題点を整理して、公式の細部を詰めるには、確かに
大学で教わる数学が必要になるでしょう。
そこまでして完成する価値のある公式かどうかは、甚だ疑問ですが。

f が多項式の場合には、k が大きくなると (f に k 回 ') が 0 になって、
Σ は有限項の和になりますから、ゴタゴタは避けられます。
が、f が多項式の場合に限った話です。

ところで、「整式で表される関数」と「整関数」は、全く別のものですよ。

お礼

いろいろありがとうございます。

＞＞「整式で表される関数」と「整関数」は、全く別のものですよ。

今回自分にいろいろと穴がある事がわかってよかったです

回答No.5

Tacosan

えぇと....
「正関数」って, 何?
「整関数」のことだとしたら, いくらなんでも「積の積分を一気に出す」ことは無理な気がするし, 「整式」のことだとしても例えば
「(x の 700次式) × sin x」
の積分が「一気に出る」というのは無理がありそう....

補足

なんか色々間違えてすいませんm(__)m
整関数ですね。
微分をｆ'積分をｆ*とするとｆ・gの積分は
ｆ・g*-ｆ'・g**＋ｆ''・g***みたいになるやつです

回答No.4

arrysthmia

http://www.math.co.jp/k_player.html?k011
これのことだとすると、
部分積分をするときに、右辺を ∫(f ')(g)dx = fg … まで書いたあと、
(f)(g ') は余白にメモして、
積分済みの ∫(f)(g ')dx を一機に fg … の隣に書け という話ですね。
要するに、
「部分積分なんで簡単じゃん。暗算でやれよ。」と言っているだけです。
大学も定理も何も…

回答No.3

BookerL

「部分積分法」であれば、積分するときの一つの技法です。積の微分を逆に使っているので、「なんという定理をもとにしているか」というと、「積の微分法」とでもなるでしょうか。

http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sekibun/henkan.cgi?target=/math/category/sekibun/bubunsekibun.html

＞大学一年生の時に学ぶものを一部かいつまんだものだよという話がありました。

　ということは、高校数学でしょうか。大学の初めに出てくるのなら、解析の初歩ですが、一般的な数学用語として「瞬間部分積分」というのはないと思います。
　誰かが勝手に名づけたものでは？

補足

瞬間部分積分はもちろん予備校用語なのですが
大学の一部を受験生ように簡略化してもってきたもの
という感じの説明でした。

積の積分なんですね

回答No.2

arrysthmia

「瞬間部分積分」てのは、どっかの予備校教師が教えている
部分積分の暗記法ですね。内容を理解すれば、公式暗記術は
必要ないように思いますが…

部分積分は、積の微分公式　(fg) ' = (f ')(g) + (f)(g ') の
両辺を積分したものです。
実際に ∫(f ')(g)dx = fg - ∫(f)(g ')dx を行うときには、
被積分関数 (f ')(g) を睨んで fg の式形をヤマカンで想像し、
(fg) ' を計算してみて部分積分になっているかどうか確認する
…という手順がよいでしょう。

お礼

部分積分の証明はできるのですが、

三角関数と正関数、自然対数と正関数との積の積分を一気に出す
予備校のテクニックを瞬間部分積分と呼んでいて
それが大学で習う数学の一部を引っ張ってきているという話だったので
純粋な知識欲から何を基にしているのだろうとおもって
質問しました

回答No.1

Tacosan

「瞬間部分積分」ってなんだ?

お礼

部分積分につかう予備校のテクニックで、予備校用語です。

大学の一部を受験生ように簡略化してもってきたもの
という感じの説明でした。