微分と積分の難しさの違いについて

質問

確か微分より積分の方が難しいと聞いた記憶があるのですが、公式を使って解く場合には逆演算だったら公式の数は同数なのではないかと思います。それでも積分の方が難しい理由を分かりやすい比喩で説明していただけないでしょうか。

回答No.4

kabaokaba · ベストアンサー

みかんジュースとりんごジュースをまぜて
ミックスジュースを作るのは容易．
けど，みかんりんごミックスジュースから
みかんジュースとりんごジュースを分離するのは困難．
いろいろ解釈はあるけど，
情報の欠落が大きな原因と主張しても
それほどの反論は得ないだろう．

微分すれば定数の情報が欠落する．
積分にはその定数情報の欠落をどうするかがある．
積分定数で処理してるけど，
たとえばその積分定数の取り方で
不定積分の見た目の形が変わるなんてことはよくある
たとえば，こんなことは実際にはないけど
原始関数がcosh^2(x)になったとしたら，sinh^2(x)だってそう．

ほかにも積分と微分の根本的な相違は
連続関数は積分できるけど
連続関数が微分できるとは限らない．
＃微分可能な関数⊂連続な関数⊂積分可能な関数

演算対象がせまい微分と，演算対象がはるかに広い積分．
後者のほうがいろいろなケースがでてきて厄介になりそうなのは
容易に想像できる．

まだある．
微分は「点」の概念だが，積分は「区間」の概念．
概念自体が含んでいる対象の広さが違う．
点よりも区間の方が複雑だから，
積分の方が厄介になりそうなのは想像に難くない．
＃そもそも定義そのものが積分の方が複雑．

ほかにも・・・・
引き算の方が足し算より間違えやすい
割り算の方が掛け算より難しい．
とくに割り算と掛け算の関係は積分と微分に似てるかも．

お礼

逆演算と聞いたので対称性があるようにも思っていました。ご丁寧にご説明いただき大変勉強になりました。

回答No.6

funoe

展開は簡単だけど、因数分解は難しい。

展開公式に対応する因数分解の公式が１対１でも、この難しさは解決しない。

補足

ほかの方の御教示に接した時も感じたことですが、どこか熱力学第二法則に似ているように思いました。エントロピーと情報が似ているというのは数学的な根拠があると聞いたことがありますが、微分積分でもそういうことがあるのでしょうか。必要条件と十分条件の関係にも似ているようにも思えます。

回答No.5

info22

#2です。
A#2の補足質問の回答
sin(x)/x, x*tan(x), exp(-x^2), exp(e^x)など
また、
x^x,log(log(x)),sin(x^2),sin(x)/log(x),log(cos(x)),√(cos(x)),
sin(sin(x)))なども

微分は簡単にでき公式にもできるが
同じ関数の不定積分は初等関数を使って表せない（積分できない）ので公式にできない。
ということですね。

参考URL：

http://reference.wolfram.com/mathematica/tutorial/IntegralsThatCanAndCannotBeDone.html

お礼

再度ご教示いただき感謝申し上げます。勉強させていただきます。

回答No.3

banakona

公式の数で難易度を測定するのは賛成できないのですが、それはさておき。

ｙ＝ｘ^n　（ｎは整数）という形の関数の微分は　　ｙ’＝ｎｘ^(n-1)

で簡単に求まりますが、積分はこれの逆だからと言って簡単でしょうか？　ｎ＝－１のときは、特殊な技術が必要ですよね。

補足

難易度・・・と書いたのは自分で解法を発見できない人が結果がた正いことを信じて使うのが公式集であるとして、微分積分のセットが掲載されていれば安心するように思ったのです。

回答No.2

info22

初等関数の不定積分でも積分が初等関数の範囲で不可能の場合（これを解析的に積分できないという。不定積分が超越関数を使って表される）があって、必ずしも積分の公式と微分の公式の数が同数といえないですね。これら

sin(x)/x, x*tan(x), exp(-x^2), exp(e^x), ... などの不定積分は超越関数になりますので積分できませんね。

補足

sin(x)/x, x*tan(x), exp(-x^2), exp(e^x)などの関数は微分積分の公式を並べて示すことができないということですね。

回答No.1

PRFRD

比喩ではないのですが……

f(x), g(x) の微分が分かっていれば f(g(x)) の微分は求まりますが，
f(x), g(x) の積分が求まっていても f(g(x)) の積分が分かるとは限りません．

例えば exp(-x^2) の微分は exp と x^2 の合成関数と思えば求まりますが，
積分は初等関数 (x, sin, cos, exp, log ...) では表せないことが知られています．

補足

例えば exp(-x^2) の微分が exp と x^2 の合成関数として求めた結果が初等関数 では表せないとしても、この結果を公式集に採択することもできないのでしょうか。