三角関数の連立

質問

大学の実験レポートを作成してるのですが、
計算をしている過程で以下の連立方程式が出てきました。

35sinθ=45sinφ
35cosθ+45cosφ=40

θ、φどちらか一方でかまいません。
これがそもそも解けるものなのか分かりませんが、
もし解けるのなら解き方を教えてください。よろしくお願いいたします。

回答No.1

R_Earl · ベストアンサー

(sinx)^2 + (cosx)^2 = 1を利用すれば解けます。
連立方程式の基本は、文字式を減らしていくことです。
とりあえず最初にθを消していきます。

35sinθ = 45sinφ
1225(sinθ)^2 = 2025(sinφ)^2

35cosθ+45cosφ=40
35cosθ = 40 - 45cosφ
1225(cosθ)^2 = 1600 - 3600cosφ + 2025(cosφ)^2
1225 - 1225(sinθ)^2 = 1600 - 3600cosφ + 2025(cosφ)^2　（(sinx)^2 + (cosx)^2 = 1を利用）

1225(sinθ)^2 = 2025(sinφ)^2　……　(1)
1225 - 1225(sinθ)^2 = 1600 - 3600cosφ + 2025(cosφ)^2　……　(2)

(1)より、(2)の(sinθ)^2に2025(sinφ)^2を代入して

1225 - 2025(sinφ)^2 = 1600 - 3600cosφ + 2025(cosφ)^2
3600cosφ = 1600 + 2025(sinφ)^2 + 2025(cosφ)^2 - 1225
3600cosφ = 1600 + 2025 - 1225　（(sinx)^2 + (cosx)^2 = 1を利用）
3600cosφ = 2400
cosφ = 2400/3600
cosφ = 2/3
φ = arccos(2/3) ≒ 0.84 [rad] ≒ 48.1°

cosφ = 2/3を利用すれば、θの値も求まるでしょう。

それから、計算ミスがあるかもしれないので、一度ご自身で解いてみることをお勧めします。

お礼

さっそくの回答ありがとうございます。
一つの公式で解けるとは思いませんでした。
分かりやすい回答ありがとうございました。