グラフを教えてください。

質問

|x-2|≧-x(二乗)+6x-4のときf(x)=|x-2|
|x-2|<-x(二乗)+6x-4のときf(x)=-x(二乗)+6x-4とおく。
(1)y=f(x)のグラフを図で示してください。
(2)0≦x≦６の範囲で、(x)の最小値と最大値を求めてください。
(3)0≦x≦4の範囲で３点(x,f(x)),(0,-2).(4.0)を頂点とする三角形の面積の最大値えお最小値およびそのときのｘの値を求めてください。
この問題を解いてみると、

(1)x≧2の時、|x-2|はx-2であるので、
x-2=-x(二乗)+6x-4
x(二乗)-5x+2=0
x=(5±√17)/2
x≧2より、x=(5+√17)/2
2≦x<(5+√17)/2の時、f(x)=-x(二乗)+6x-4
(5+√17)/2≦xの時、f(x)=x-2
x<2の時、|x-2|は2-xであり、
2-x=-x(二乗)+6x-4
x(二乗)-7x+6=0
(x-1)(x-6)=0
より、x=1または6であるが、x<2よりx=1
x<1の時、f(x)=2-x
1≦x<2の時、f(x)=-x(二乗)+6x-4
f(x)=-(x(二乗)-6x)-4
=-(x-3)(二乗)+5
上に、凸の(3,5) x=3
これをふまえて図示する。
(2) (1)の図より
x=1のとき最小値１
x=3のとき最大値５
ここまでは、何とか解くことができたのですが、(3)を解くことがどうしてもできませんでした。
(1)(2)が必ずあっているとはいえませんが、どうか教えてもらえませんか？
(3)の手がかりさえわからなくてすみません。

回答No.2

info22 · ベストアンサー

(1),(2)は合っています。
(3)は
A(0,-2),B(4,0),C(x,f(x))
とおく。
ABを底辺と考えると
面積Sが最大となるのは三角の高さhが最大になるとき
面積Sが最小となるのは三角の高さhが最小になるとき
です。
直線ABの方程式は　y=x/2-2…(●)
底辺ABに平行な直線の方程式を
y=x/2+kとおくと、
この直線がy=f(x)(0≦x≦4)と交点をもつ時の
■kの最大値（hが最大)の時の(x,y)は
y=x/2+kとy=-x^2+6x-4が接する時であるから
x^2-(11/2)x+4+k=0の判別式D=0からk=57/16
この時、x=11/4,y=f(11/4)=79/16
(11/4,79/16)と直線y=x/2-2(●)との距離の公式から
この時h=|11/8-79/16-2|/√(1/4+1)=(89/40)√5
■kの最小値（hが最小)の時の(x,y)は
y=x/2+kが(1,f(1))を通る時であるから
1=1/2+k ∴k=1/2
この時、x=1,y=f(1)=1
(1,1)と直線y=x/2-2(●)との距離の公式から
この時h=|1/2-1-2|/√(1/4+1)=√5

回答No.4

take_5

（3）の最小値はすぐ分るから問題ないだろうが、最大値はどうするか？

3点Ａ（x1、y1）、Ｂ（x2、y2）、Ｃ（x3、y3）で出来る三角形の面積Ｓは、2Ｓ＝｜（x1-x3）*（y2-y3）-（x2-x3）*（y1-y3）｜‥‥(1)で求められる事を知ってれば簡単に行く。
原点Ｏ（0、0）とＡ（x1、y1）、Ｂ（x2、y2）で出来る面積は、2Ｓ＝｜x1*y2-x2*y1）｜で求められるのは教科書で習っているだろう。
従って、原点を0→x3、0→y3だけ平行移動すれば良いだけだから(1)は理解できるだろう。

Ｃ（α、-α＾2＋6α-4）、Ａ（0、-2）、Ｂ（4、0）とすると、2Ｓ＝｜－４α＾2＋22α-8｜を0≦α≦4の範囲で考えると良い。

回答No.3

info22

#2です。
補足です。
A#2で
AB=2√5
S=AB*h/2=h√5
です。
A#2で求めたhの最小値、最大値を代入すればSの最小値と最大値が求まることが分かりますね。

回答No.1

hatake333

(1),(2)はあっていそうです．
(3)は2点(0,-2),(4,0)を三角形の底辺に設定しましょう．
そうすると，底辺は 2√(5) になります．
また，底辺の直線の方程式は，
　　x - 2y -4 = 0
三角形のもうひとつの頂点は，(x , f(x)) なので，
この直線と頂点を，「点と直線の距離の公式」に代入すれば高さが得られます．
高さは，xの関数になってますので，慎重に絶対値をはずして考えれば，
最小値は x=1 のとき，最大値は x = 11/4 のときとることが分かると思います．
かなり実力のある方ですので，計算はお任せいたします．