図形と方程式

質問

「2009 センター対策 重要問題演習数学標準編」の数IIの範囲で授業を聞いてもわからないところがあったので質問させて下さい。
問)xy平面上に２点A(-9,-2),B(3，2)がある。線分ABを3：1に内分する点をC,3：1に外分する点をDとする
(1)点Cの座標は(ア,イ),点Dの座標は(ウ,エ)であり,2点C,Dからの距離の比が1：2である点の軌跡をKとすると,Kは中心がE(オカ,キ),半径がク√(ケコ)の円である。
(2)(1)のとき,円K上に動点Pをとる。
直線PDが円Kの接線となるとき,ΔPBDの面積はサシ√スである。
また,点RをΔCDPの重心とするとき,点Rは円x^2+y^2-セx-(ソタ)y/チ+ツ/テ=0上にある。

(1)は内分外分の公式からC(0,1),D(9,4)
K(X,Y)とおき条件より式を立てKの方程式から求めるとE(-3,0)となり半径2√10となりました。
(2)は直線PDの方程式をy=m(x-9)+4としやろうとしたのですが計算がややこしい式になってしまいストップしてしまいました。
この先の説明をぜひお願いします。

回答No.2

hatake333 · ベストアンサー

>直線PDの方程式をy=m(x-9)+4としやろうとしたのですが計算がややこしい式になってしまいストップしてしまいました。
　よくやるパターンですね．同じようにストップする方も多いかとおもいます．
円とその接線問題で，円上の1点を通る接線の方程式を問われれば，
すぐに，公式を思い出すかと思います．つまり，
　円C：(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 ， この円上の点P(m,n)でCに接する直線の方程式は，
　　(m-a)(x-a) + (n-b)(y-b) = r^2

円外の1点を通る接線の方程式の場合も同様に上の公式を活用します．
まず，円上の点Pが不明なので，P(s,t)とおきましょう．すると，求める直線は
　　(s+3)(x+3) + ty = 40
となります．この直線が，点D(9,4)を通るので，代入して
　　12(s+3) + 4t = 40 ∴　t = 1-3s　・・・(1)
また，Pは円上の点なので,
　　(s+3)^2 + t^2 =40　・・・(2)
(2)に(1)を代入して整理すればOKです．Pと接線の方程式が同時に求まります．

△PBDはEP⊥PD と ED:BD=2:1 に気付けば，
△PBD = (1/2)△PBD = (1/2)*(1/2)*PD*EP　で求まります．

△CDPの重心は，C(a,a'),D(b,b'),P(c,c')のとき，
　　重心((a+b+c)/3 , (a'+b'+c')/3)
x = (a+b+c)/3 , y = (a'+b'+c')/3 から，円の方程式を導けばOK

お礼

ありがとうございます
わかりました

回答No.1

proto

円Kと三角形PEDと三角形PBDの図を描くとわかりやすいと思います。
PDがKに接していることより、線分EP(Kの半径にあたる)と線分DPは直角に交わります。つまり三角形PEDは直角三角形となります。
EPの長さはKの半径、EDの長さはそれぞれ座標が分かっているので距離を求めればわかりますね。さらに三角形PEDは直角三角形ですから、三平方の定理より残るDPの長さも求められます。
直角三角形PEDの全ての辺の長さが分かったので、基本の「底辺*高さ/2」で三角形PEDの面積が求まります。

さて、次に線分EDを底辺として三角形PEDと三角形PBDを見てみると、二つの三角形は高さが同じで底辺の長さの比がED:BDですから、面積の比もED:BDになります。
三角形PEDの面積は先ほど求めたので、簡単な計算で三角形PBDの面積も求めることが出来ます。

お礼

ありがとうございます　
参考になりました