○.○次元！？

質問

このサイトを見ていて疑問に思ったことがあります。
物理では2.5次元とか3.2次元なんてことを考えたりする学問はあるのでしょうか？
一応理系の学生なんですが、質問を見たらわかるとうり相当アホです。(^-^;
でも考えたりすることは好きなので、誰か教えてくださると嬉しいです。
よろしくお願いします。

回答No.4

serpent-owl

いやしくも理系の学生さんでいらっしゃるtomekoさんに比べれば、はるかに数学ができないに違いない文系人間ですが、素人なりに直感的にわかりやすい説明を試みるべく、しゃしゃり出てまいりました。
　要するに、
　　　０次元と一次元の中間だから「0.abcdefg次元」
　　　一次元と二次元の中間だから「1.hijklmn次元」
　　　二次元と三次元の中間だから「2.opqrstu次元」
ということです。
　上から順に具体例を挙げます。
　「０と１の中間」の例に「カントール集合」があります。一本の線分を引き、三分の一に仕切って真ん中を消します。これで二本。そのそれぞれを両方とも三分の一に仕切って真ん中を消す。これを無限に繰り返します。すると、最初線分だったものが、無数の細かい塵になっていきます。
　最初は「線」だった（つまり一次元）ものが、無限に繰り返すうちに「長さ」を失っていきます。どんどん０次元に近づいているのです。だから「０と１の中間の次元数」をとる、というわけ。
　では次に「１と２の中間」。Sigmundさんが挙げておられる「コッホ曲線」がそうです。正三角形から初めて、各辺の長さの三分の一ずつの長さを一辺とする正三角形を張り出させます。これも無限に繰り返します。最初は「線」でしたから、一次元です。ところが、これも無限に繰り返すと、コッホ曲線は最初の正三角形に外接する円の内側を埋めるように広がります。つまり「線」ですが「面」に近い。そこで、「１と２の中間の次元数」をとります。
　さて最後に「２と３の中間」。「シェルピンスキーの絨毯」の三次元版、「メンジャー・スポンジ」でいきましょう。これは、一つの立方体から、各面の真ん中にその面の面積の九分の一の面積をもつ正方形の断面でくりぬいていって作ります。…どうも言葉では説明しにくいです。「フラクタル」とか「カオス」とか銘打ってある本を見ると、図が載っていると思いますから、よろしかったら探してみて下さい。
　とにかく、どんどんどんどんくりぬきます。くりぬきまくります。すると、体積は無限に小さくなっていきます。しかしなんと、表面積は無限に増大していくのです。「立体なのに、平面に近い」ということで、「２と３の中間の次元数」をとります。

　それぞれの次元数の計算方法はsigumundさんがお書きになっているとおりです。実は私には五歳ほど年下の「カオスの道の師匠」がおりまして、たまにこれで遊びます。上記のような図形を見て、パッと見で「うーん…これは、2.3479次元くらいかな…」「いやー、もうちょっと…2.4356次元くらいはいってるよ」と言ってみて、その後実際に計算してどちらが近いか競う、というやつです。最近、飽きましたが。
　専門家の方々にはお眼汚しでした（思いっきり間違ってたらご指摘くださいませ）。失礼しました。
ik@

回答No.3

ametsuchi

siegmundさん等専門家の素晴らしい回答があったので、蛇足の蛇足になってしまいますが、CAD用語など世間で慣用的に「2.5次元」などと使われることがあります。これと、下のフラクタル理論で使われる「真っ当な」非整数次元の話と混同されないようご注意申しあげます。世間的な用法しか使ったことのない立場から...。

都市のビル群などのように平面形状が比較的正確かつ、デジタルデータとして存在するものはデータは2次元の多角形のまま扱い、「高さ」や「階数*階高」というスカラー値を付与することにより、3次元データを近似的に表現することができます。2次元の多角形データであればデータ量が減るだけでなく計算も楽であることが多いです。これを慣用的に「2.5次元」と称します。

勿論、次元というのは少なければいいというものではなく、1次元追加することにより遥かに一般的かつ強力になる場合も少なくありません。３次元CADの自由曲面・曲線の主流であるNURBSなどはその典型ですが、これはあまりにも本題から外れるので説明は略します。

お礼

ametsuchiさんの言われた2.5次元の説明も面白いですね。
３次元CADなんてのもあるんですか・・・。

回答No.2

siegmund

もともとの次元の概念は自然数に限られています．
これを拡張して，非整数次元にしたのが guiter さんの回答にある
フラクタルの話です．
ちょうど，べき乗がもともと自然数しかなかったのに，有理数，無理数，複素数と
拡張していったようなものです．

拡張のキーポイントは相似性にあります．
直線も長方形も直方体も自己相似で，Ｎ個の部分に等分すれば
相似比(＝もと／分割したもの)は明らかにそれぞれ N，N^(1/2)，N^(1/3) です．
で，ちょうど N^(1/D) のＤが，線は１次元，面は２次元，立体は３次元，
と言ったときの次元になっています．
それでは，自己相似比ｒが N^(1/D) になっているもののＤをもって
次元と言うことに概念を拡張しよう，とするのです．
ちょうど，べき乗の指数法則を使ってべき乗の概念を拡張したようなものです．
この次元の定義をハウスドルフ次元と呼んでいます．
すなわち，Ｄは r = N^(1/D) から
(1)　　D = log N / log r
になります．

下で guiter さんが紹介されているＨＰに載っている Koch 曲線は
３単位の長さの直線を次々に ＿／＼＿ のようにして行ったものです．
したがって，N = 4，r = 3 で，(1)から
(2)　　D = log 4 / log 3 = 1.2618...
です．

こういう話の萌芽は１９世紀の終わりのペアノ曲線でしょう．
フラクタルの言葉はマンデルブローによります．
guiter さん紹介のＨＰにマンデルブローの本が載っています．
日本語訳もあります(厚くて重い本です)．

物理では，具体的空間次元そのものを半端にすることは余りありませんが，
いろいろな量の振る舞いがフラクタルで記述されることは多いです．

お礼

なるほど、ハウスドルフ次元ですか。
かなり難しそうですね・・・。
特に式を展開するごとに、rの解釈を忘れてしまいそうです。
でもおかげで非整数の次元が考えられてるんだなって実感がわきました。
丁寧な回答ありがとうございます。

回答No.1

guiter

専門家ではないので、ＵＲＬの紹介ぐらいしか出来ませんが、
フラクタル幾何学では非整数の次元が定義されています。
他にもあるのかどうかなど詳しいことはわかりません。

どなたか専門の方、フォローをお願いします。

参考URL：

http://www.nifs.ac.jp/jspf/yougo/1994.01/frac.htm