どこが間違っていますか

質問

スマリアンの出した問題をアレンジし換えました。
一方には他方の5倍の金額が入っている事が解っている2つの封筒があります。「Aさん、どちらでもお好きな方をおとり下さい、差し上げます」「それでよろしいですか、もう一方と取り替えてもいいですよ」（普通は封筒に入っているのをa円、5a円とした時、とってきたものの期待値も、残っているものの期待値もともに3a円だから特に取り替えることはしない）　　所がAさんはこう考えました[今私の持っている封筒にb円が入っているものとするともう一方には5ｂ円又は1/5ｂ円
その期待値は((5/2)+(1/10))b円でｂより大きいので取り替えるべきだ]
Aさんの考え方は如何ですか正しいですか?間違っているならどこがどう間違っていますか？普通の考え方はどうですか？開けて5万円が入っていたときにはもう一方の期待値は13万円という考え方はどうまちがっていますか？学生がＡの様な解答をしたときどう評価しますか

回答No.25

hatake333 · ベストアンサー

補足を読んだ限りでは，質問文は以下のように訂正できそうですが，如何ですか？

「Ａさんはa円の金額を知らされないまま，一方はa円が，
他方は5a円が入っている2つの封筒のうち無作為に1つ選んだ．
このとき，選んだ封筒の中の金額の期待値と残された封筒の中の金額の期待値は
共に3a円となり，選び直す必要はない．
一方，選んだ封筒の中の金額をb円と仮定すると，もう一方の残された
封筒の中の金額は5b円，または，(1/5)b円と表現できる．
ただし，この時点での，b = aである確率は1，または，0，
同様に，b = 5aである確率は1，または，0であるものとする．
このとき，残された封筒の金額が5b円と(1/5)b円のどちらになるのかは
Ａさんがはじめにa円，または，5a円のどちらを選んだかですでに決しているので，
残された封筒の金額が5b円，または，(1/5)b円となる確率は共に1/2であると考えられる．
したがって，残された封筒の中の金額の期待値は
　(5b*(1/2) + (1/5)b*(1/2) = (13/5)*b
となる．しかし，これは仮定したb円よりも大きいので選び直した方が
良いことになり矛盾が生じた．
選び直す必要は無いことは確かなのだが，上記の矛盾はどこから生じるのだろうか？
自分なりに原因は特定しているが，それに自信がないため，
原因に対する共通見解をもらいたい．」

上記の質問内容でしっくりくるようでしたら，
少なくとも，zenin氏の考える「原因」について質問文に書いていただかないと，
zenin氏の考える「原因」が間違っているのか，
問題文が誤解を招いて，クリティカルな意見が出ないのか，
そもそも問題文の内容が成り立たないのか，
結局は分からないので，永久に解決できません．
かなり古い質問文になってしまっているので，新規で見る方も少ないでしょうし，
まだもし，共通見解を求められるようでしたら，
上記を踏まえて新しく質問し直されることをお勧めします．

補足

問題の出し方から貴方は私の考えている矛盾の原因がお分かっていられる様におもいます。
＞ただし，この時点での，b = aである確率は1，または，0，
＞同様に，b = 5aである確率は1，または，0であるものとする．
これは仮定のようにお書きになっていますが（何回か示唆している様に）これが結論ですよね。多い方の5a（少ない方のa)を採ってくる確率は確かに共に1/2ですが取って来たbは多いほうか少ない方かが決まっています（どちらかは分からないが）。コイントスで表、裏が出る確率は1/2ですが投げた結果は表、裏が決まっています。bを中心にして考えるのですから、bが多い方である確率は0又は1。その時残りb/5は確率1又は0で1/2ではないと思いますが、どこかまちがっていますか？
何回か（明確にではないが）云っている積もりなのですが反論も同意も得ていません。どうしてでしょう。あまりにも簡単すぎますか

回答No.15

arrysthmia

No.14 の「3a」は、No.9 補足で貴方が
＞ (a,5a)から勝手に取ってきた（正確な表現ではありませんが推察下さい）時
＞ その期待値は3aというのは譲れない話です。
と書いている「3a」、すなわち、質問文中の「3a」です。
No.9 の例題に、「a」は登場しませんよ。

＞ a の値については、２５万か１万かのどちらかであること以外ノーヒント
は、誤記でした。
＞ a の値については、５万か１万かのどちらかであること以外ノーヒント
と訂正します。こうすれば、意味がわかりますか？
No.14 前半では、Aさんと No.2 さんが、共通に間違えた点を指摘したのです。

「この問題」は、質問 Q No.4378786 でAさんが考えている問題のことです。
「この問題」の本質は、p の値がわからないという所にあります。

貴方の議論の本質的な問題点は、
わからない確率を任意に推定してよいと考えていることです。
＞（1,5）か（5,25）か全く分からない、分かる手立てが全くない、
＞ それでも何らかの推定をしなければならない。その時には
＞ コインの表裏の様に各 1/2 とせざる得ないのではありませんか。
というのは、そういう考えです。

確率を利用して考えるなら、そのような間違いをやってはいけない
というのが、No.14 後半の趣旨であり、
No.3 以来、繰り返し書いていることです。
No.6 の [A] [B] [C] を比較してみることが、理解の役に立つと思うのですが。

補足

あまりにも沢山になり＃6の参照も手間がかかります。
[A]の確率は1/6です。[B]の確率は0又は1です、但し0である確率は5/6で1である確率は1/6です。　[C]の確率は0又は1ですが夫々の確率は分かりません。（出目の意味が正しく把握できていないかも分かりませんが）
No.14の前半とは(1)3a>50000 か(2)3a<50000の話だったですね（リファーが面倒なので）私は何回も言ったつもりですが(1)の場合はＡ氏のb(ここでは5と書かしてもらいます）初めの2枚の封筒が(5,25)のペアである確率が1で(2)の場合は0であるがどちらか分からない　　　
私は、これをＡ氏が1/2としているのが間違いの原因だと言っているのです。　貴方が3aを正しいと認めたと言うことはこれを1/6としていると言うことになりませんか。
本日はこれで　尚確率論ではこんなことは一切取り扱いませんよ

回答No.14

arrysthmia

←No.9 補足
＞ (a,5a)から勝手に取ってきた（正確な表現ではありませんが推察下さい）時
＞ その期待値は3aというのは譲れない話です。

譲る必要はありません。正しい計算です。
この問題は、封筒を交換する際の利得は期待値 3a、交換しない際の利得は５万
であり、a の値については、２５万か１万かのどちらかであること以外ノーヒント
ということです。
3a > 50000 だか、3a < 50000 だか、どうやって推定しますか？
わからないことは「わからない」と言うのが、正直というものです。

Aさんが５万の封筒を開ける前なら、交換しない際の利得も期待値 3a ですから、
3a = 3a で、交換してもしなくても期待値が等しいことは「明らか」です。
しかし、手元の５万を見たからには、これは、そういう問題ではありません。

←No.10 補足
＞（1,5）か（5,25）か全く分からない、分かる手立てが全くない、
＞ それでも何らかの推定をしなければならない。その時には
＞ コインの表裏の様に各 1/2 とせざる得ないのではありませんか。

違います。
「分かる手立てが全くない、それでも何らかの推定をしなければならない」以上、
1/2 とした推定は、何の根拠もないものです。それに基づいて行った考察は、
全て、結果的に何の根拠もない…ということになります。
何の根拠もない話に、正しいも間違っているもありません。
「この宝クジは当たっている。そう決めた。俺が決めた。」という次元の話です。

No.8 のサイコロで説明したように、
コインの表裏は確率 1/2 と「せざるを得ない」のではなく、
考察を行う人が、自分の主観と責任において、確率 1/2 と「仮定する」のです。
以後の議論が正しいかどうかは、確率 1/2 の仮定が正しいか否かに依存します。
その仮定の正しさは、誰も保証してくれません。
その仮定に合意するもの同士だけが、話が噛み合う…ということです。

例で見てみましょう。
A:「サイコロを投げて１が出る確率は 1/6 だから、
　　２個投げて合計が２になる確率は 1/36 だね。」
B:「そのサイコロ、イカサマ用なんだよ。実は、確率 1/2 で１が出るんだ。」
サイコロを２個投げて合計が２になる確率は、どれだけでしょう？

＞ 教師は3年前に辞めました、これからは教師根性はすてます。
数学教師ではなかったこと、少なくとも確率の授業はしていなかったことを
祈って止みません。

補足

＞この問題は、封筒を交換する際の利得は期待値 3a、交換しない際の利得は５万
であり、a の値については、２５万か１万かのどちらかであること以外ノーヒント
ということです。

すみません、この問題とは＃9の貴方が出された問題のことですね、そこでなぜ3aが出てくるのですか？　利得とは何ですか
この問題とはスマリアンのＡ氏が封筒を開けてみると、5万が入っていたと言う元とは異なる問題のことですか？それでは話がただ＃3のpが1/2か否かになり問題の本質とかなりかけ離れますね。

回答No.13

Beryllinth

質問文と同じ文字を不用意に別の意味で使ってしまいました。混乱させて申し訳ありません。#11の補足

＞従って＃2氏のｂはaの事だと思っています。

で結構です。私はその意味でbを使っていました。つまり、期待値は交換・非交換共に、3aであると主張しています。

＞（13/5)bはＡ氏の考えが正しくて、bを持っていてそれを交換したとき得られる期待値となりますね

ここに巧妙な罠が隠されています。この問題は秀逸ですね。私の#11の回答の繰り返しになりますが、これはbが何であったかを度外視した単なる「交換したときの倍率の期待値」を表しているに過ぎません。

aが5aになる（つまり５倍になる）確率が1/2で5aがaになる（つまり1/5倍になる）確率が1/2です（正確に言えば、最初がaであった確率が1/2で、5aであった確率が1/2。交換時の期待値を求める計算なので、いずれの場合も必ず交換すると考える）。「何倍か」ということだけを見れば、その期待値はＡ氏と同じ「13/5倍」になるのが見て取れると思います。しかし、そんな計算は、「交換すべきか否か」という問いの答えにはなっていません。何が【何の】何倍なのかが統一されていない事象をごちゃ混ぜにたくさん（この場合２つ）足し合わせてしまっているので、損得勘定とは全く関係のない、何の意味も無い計算をしていることになるのです。

＞申し訳ありませんが貴方の仰る事も＃2氏の仰っている事もよく理解できません

理解できるようがんばってください。とにかく、#2さんのご回答を何度も読めば、それが極めて論理的で的を得ていることがわかると思います。私はただのヒマつぶしだったので、これにて失礼します。追加回答は致しません。

補足

>aが5aになる（つまり５倍になる）確率が1/2で5aがaになる（つまり1/5倍になる）確率が1/2です（正確に言えば、最初がaであった確率が1/2で、5aであった確率が1/2。交換時の期待値を求める計算なので、いずれの場合も必ず交換すると考える）。「何倍か」ということだけを見れば、その期待値はＡ氏と同じ「13/5倍」になるのが見て取れると思います。しかし、そんな計算は、「交換すべきか否か」という問いの答えにはなっていません。何が【何の】何倍なのかが統一されていない事象をごちゃ混ぜにたくさん（この場合２つ）足し合わせてしまっているので、損得勘定とは全く関係のない、何の意味も無い計算をしていることになるのです。
ｂが何かということは分かっていない、しかしbを交換するとその期待値がbより増えるということですよ（私の考えは違いますが）。bを主体とした議論でＡ氏はaについては何も言及していない、例えばb=5の時はどうなるか、1の時はどうなるか｛初めが（1/5,1),(1,5),(5,25)のどれかが全く分からない時｝を考えて見てください。Ａ氏が持っているのを分からないのにbと仮定することが不当と言うことを仰っているのですか？しかし（aもbも決まって居ますが）aだって分からないのですよ。
＃2氏の（しかし，その比は 5000/200 = 25倍となります．得られる金額は1000か5000ですから，仮定の5倍に反しますよね．）
この部分などは何かと混乱なさっていると思いますが理解お出来になりますか，

回答No.12

jokyoju

No4,No10です。
＞イ）（1,5）か（5,25）か全く分からない、分かる手立てが全くない、それでも何らかの推定をしなければならない。その時にはコインの表裏の様に各1/2とせざる得ないのではありませんか。

No6の方が指摘されているのと同じことですが、
たとえば1億円当たるくじがあります。
あたりの本数もはずれの本数も期待値も一切わかりません。
このくじを貴方は1000円で買えるとしたら
買ったほうが有利と考えますか。

これについてなんらかの推定をしなければならないとして、その推定は確率とは無縁のものではないですか。

ここでもう一度Aさんの立場で考えてください。
Aさんは２つの封筒を選ぶ前には
２つの封筒についてどちらに多くの金額が入っているかわからないので
どちらを選んでも同じ、一方の金額をaとするともう一方は5aとなり、
どちらの封筒の中身も期待値は3aとなります。

Aさんが５万円の封筒を選んだとき
Aさんはどう考えるでしょう
（1）最初の封筒が（1と５）であり５を選んだ
（2）最初の封筒が（5と25）であり５を選んだ
のどちらかであることがわかります。

もしかして、貴方は選ぶ前は大きいほうを選ぶ確率が1/2で
あるが選んだあとは大きいほうを選ぶ確率が0または1であると考える理由ではないですか。

最初の封筒が（1と５）の場合大きい方である５を選ぶ確率は1/2
選んだ後は5は大きい方であるので、5が大きい方である確率は1
同様に（5と25）の場合ははじめは大きいほうである25を選ぶ確率は1/2選んだ後は5は小さい方であるので、5が大きい方である確率は0ということですか。

確率が0とか1とか言うことは、確実にあるか、絶対無いか確定しているということで、あなたのいう
＞（何もかも分かっているなら確率の必要はありません。

ではないですか

これが正しい表現かわかりませんが、
わからないから確率です。

＞分かっているものから推定するそれが確率ではありませんか。
これについては私も同感です。
Aさんがわからないのは、自分が大きいほうの封筒を選んだのか、小さいほうの封筒を選んだのかということではなく、
最初に用意されていた封筒が（1.5）か（5,25）かということです。

（1.5）と（5,25）のどちら可能性が大きいか区別する方法がないから
どちらの可能性も1/2では、確率からは明らかに離れた議論になってしまいます。

ただ、二つの封筒から１つを選ぶ前はどちらも同じ期待値であるのが、
Aさんの考え方によれば、最初に選んだものと、違うほうが期待値は大きくなり、N03方によればｐの値により変わるとあるので納得いかないのではないですか。

ここでNo４について少し説明させてください。
1つの袋に全部で10個の球が入っています。
中には白と黒の球があり袋の中から取り出すときに区別はつきません。
この状態で1個取り出し色を確認したら戻し、中をかき混ぜ、
10回行ったところ白7個黒3個の場合
袋の中の期待値は白7個黒3個となります。
これはあくまでの期待値なので当然中の白黒の個数は実際と違う場合はあります。
質問の場合はじめに入っている金額をaと５aとした場合、どちらを選ぶかは確率1/2なので、期待値は3a
つまり3aが5万円になっているので
はじめ封筒に入っていた金額の期待値は5/3万円と25/3万円となりま
す。
これは（1万、5万）が5/6の確率で（5万、25万）が1/6の確率ということと同じです。

選んだ時点でなにもわからないのではなく、5万円を選んだことがわかります。

補足

上の方から行きましょう　1000円で1億円が当たるくじでは当たる確率がある程度推測可能です。問題の妥当性を欠いています。

＞もしかして、貴方は選ぶ前は大きいほうを選ぶ確率が1/2であるが選んだあとは大きいほうを選ぶ確率が0または1であると考える理由ではないですか。
質問の文章が分かりませんが、選ぶ確率ではなく、選んだもの（ｂ）は2枚の内大きい方かそうでないか決まっているので1か0（決まっているが、どちらかは分からない）と言っているのです。0か1かが分かっているというのでは有りません。

＞Aさんがわからないのは、自分が大きいほうの封筒を選んだのか、小さいほうの封筒を選んだのかということではなく、最初に用意されていた封筒が（1.5）か（5,25）かということです。
5と言うのを見た時にはその通りですが、しかし（Ａ氏の考えた）中身を見ない時点ではどちらもわからないのです。
Ａ氏が中身の5を見たと言う元の問題とは違った問題なのですね
＞（1.5）と（5,25）のどちら可能性が大きいか区別する方法がないかどちらの可能性も1/2では、確率からは明らかに離れた議論になってしまいます。
明らかには（学生さんがよく使う言葉ですが）私には明らかでは有りませんので

私はNo.3さんを一番高く評価しています。私の不満はNo.3さんが初めの2枚は固定しているのに初めからその2枚以外のものを持ち込んでいることと普通の考え（初めの3aの話）を有る意味で否定せざるを得ないことです。私はNo.3さんのpはどちらか分からないが0か1だと思っているのです。従って1/2以下は蛇足なんですが
しんどくなったので後まとめて、実際の値と期待値と言うのを間違っていませんか、12回行って白8黒4の時は白20/3個、黒10/3個が期待値なのですか？期待値と言うこんな使い方があるのですか？

回答No.11

Beryllinth

正しい考え方については既に#2さんが書いておられます。以下に再掲致します（#2さんの原文の「(1/5)b」は実は「b」の間違いだと思われます。以下では修正して再掲しますが、このケアレスミスがあってもなくても、述べられている重要なポイントと結論には変わりありません）。

＞具体的に後半の中で，(1)交換，(2)非交換　を比較してみましょう．
＞(1)はじめに5bを持っている確率1/2で，交換してbを得る．または，
＞　はじめにbを持っている確率1/2で，交換して5bを得る．
＞　　期待値 = (1/2)*b + (1/2)*5b = 3b
＞(2)はじめに5bを持っている確率1/2で，非交換．または，
＞　はじめにbを持っている確率1/2で，非交換．
＞　　期待値 = (1/2)*5b + (1/2)*b = 3b
＞よって，交換してもしなくても期待値は変わらない．交換するだけ無駄ということになります．

では、交換時の期待値を((5/2)+(1/10))b = (13/5)bとする計算は一体何なのかというと、これは「交換後が交換前の何倍になっているか」の期待値の計算です。「１万円が５万円になる（５倍）」と「５万円が１万円になる（１／５倍）」がそれぞれ1/2の確率で起こるとすると、確かに期待値は13/5倍です。しかし、aを基準に何倍になっているかということと5aを基準に何倍になっているかということを同列に論じたために、それらが何円であるかという情報が失われてしまい、「何を基準にするかはともかく、何倍であるか」の計算でしかなくなってしまっています。そのような計算で得られた期待値「13/5倍」は、交換するのが得であるか損であるかという問いに対しては何ら効力を持ちません。

また、起こりうるケースを「(1,5)または(5,25)」としている箇所が見受けられますが、正確には「(1,5)または(5,1)」です。(1,5)と(5,25)は全く違う世界での出来事なので、同列に扱うことはできません。

#3さんなどが言われるように、そもそも最初にどちらを選ぶかの確率がわかっておらず、それらをp,1-pなどと置いてはじめて議論に意味があるという立場は、一般論としては間違いではありません。確率論というものがそういうものであるということは私もある程度は承知しているつもりです。

しかしながら、確率の問題においては一定の暗黙の了解があります。例えば「サイコロ」と言えばpを明示することなく1/6であると考えますし、「コイントス」と言えば1/2であると考えます。そして、この問題のように「どちらかわからないものを無作為に選ぶ」と言ったときには、暗黙のうちにそれらは1/2と決められています。これがそもそも1/2になるかどうかが主題となるケースもありますが、今回の問題はそうではないと考えていいでしょう。また、そもそもＡさんの間違いは、これらの件には全く関係ありません。

＞数学は論理であり説得術ですので、数学の教官は人の主張を聴き、それが間違っているならその理由をハッキリ指摘する責任と義務があるのですよ

回答者のみなさんは、貴重な時間を割いて質問者さんのために回答なさっているのだと思います。私はただのヒマ潰しですが。いずれにしても私を含めた回答者はそういう感じの立場ですので、質問者さんのおっしゃる「責任と義務」について必ずしも全うしていないことについてはご容赦ください。

補足

申し訳ありませんが貴方の仰る事も＃2氏の仰っている事もよく理解できません。　初めの問題でのaは封筒のペアの中に入っている金額(a,5a)のもので　ｂはaか5aのどちらかでaとbは同じものでは有りません。従って＃2氏のｂはaの事だと思っています。上記(1),(2)の云っていることは初めに述べた問題の期待値3aのことですね。或はb＝3aと結論なさっているのか？期待値と実際に持っている値は異なりますa=1000の時期待値は3000、しかし（1000,5000）から3000を採ってくることは出来ません。　bを持っている確率は1ですからね。それから後の（13/5)bはＡ氏の考えが正しくて、bを持っていてそれを交換したとき得られる期待値となりますね、だから交換したほうが得だと云うのがＡ氏の考えでその考えをサポートしていることになるのではありませんか。これは間違っているのではないかが問題なのです。尚(1,5)、(5,25)というのはb=5の時もう一方を推察する話です。
＃2さんの1000、又は5000と決めておられる理由も分からないのですが
　　面白い問題でしょう

回答No.10

jokyoju

No4です。
＞何が正しかを聞いているのでなくAの考え方の何処が、何故間違っているかを問うているのです。

これについては他の方が書かれているように選んだのが5万円の場合、残っている封筒の中身は1万円か25万円かわからないので、
どちらも確率は1/2で期待値は13万円という点です。

Aさんの立場で考えてみましょう。
5万円を選んだということは、
最初に1万円と5万円の封筒が用意されていて、５万円の封筒を選んだ
２つの封筒が全く区別ができなく選ばれる確率が同じと考えられるなら
1/2の確率で大きい方の5万円を選んできたと考えることはできます。
同様に最初に5万円と25万円の封筒が用意されていたと考えれば、
1/2の確率で小さい方の5万円を選んできたと考えることはできます。
ここでAさんは最初に用意されていた封筒が（1万円と5万円）か（5万円と25万円）かはわかりません。わからない、区別できないので確率は1/2とするなどということは、全く論外です。

貴方は
＞確率を利用して常識的に考えてみよう云う話でサイコロを振って1の出る確率が1/6と仮定するのでなく1/6と主観的に推測する立場のはなしです。

とありますが、これは1から6までの目が全く均等に出るという前提があっての話です。たとえば、この問題の場合（1万円と5万円）の組が9組（5万円と25万円）の組が1組の中から1組を選んでその中の２つの封筒から選んだという場合も考えれます。

また
＞私は最初の2枚のうち多いほうを取る確率も少ない方を採る確率も共に1/2であるが、とってきたｂは多いほうか少ない方か決っているので多いほう（少ないほう）の確率は0又は1で1/2でないと考えていますが

とありますが、
またNo6の方の回答に
＞それぞれの場合に、サイコロの出目が１である確率を考えてみましょう。
[A] での確率が 1/6 で、
[B] での確率は「0 か 1」ですか？

がありますが、この場合は[B]の場合の確率は明らかに1/6です。
革製のふたがはずされるまでは、結果はわからないので、1から6まで
の数字が出る確率はすべて1/6です。ふたがはずされて結果が現れればそれは1であるか1でないかということで、これは確率が0または1であるという表現はおかしいのではないですか。
結果を知らないものにとっては[B]の場合の確率は1/6
結果を知っているものとっては確率とは無縁の話です。

少し脱線しましたが、質問に戻るとAさんのとって、5万円の封筒を選んだ段階で、大きい方を選んだのか小さい方を選んだのかは確定してはいますが、自分の選んだものが大きい方か小さい方かはわからないので確率の話になります。

以上がAさんの考え方の間違っているところです。

No4の補足アドバイス
＜はじめ封筒に入っていた金額の期待値は5/3万円と25/3万円となります＞
は最初の封筒が（1万円と5万円）であった確率が5/6（5万円と25万円）であった確率が1/6と同じ意味です。

＞数学は論理であり説得術ですので、数学の教官は人の主張を聴き、それが間違っているならその理由をハッキリ指摘する責任と義務があるのですよ

私は数学の専門家でもなく、まして教官でもないので、参考意見として考えてください。

補足

私はリレイ型の計算機でプログラムは配線である時代の人間でwindowの使い方もよく分からないしinputも非常に手間がかかるので舌足らずで貴方の仰る場所を引用する仕方も分かりませんのでご容赦願います（この時点でNo.4の参照の仕方も分かりません）
イ）（1,5）か（5,25）か全く分からない、分かる手立てが全くない、それでも何らかの推定をしなければならない。その時にはコインの表裏の様に各1/2とせざる得ないのではありませんか。（何もかも分かっているなら確率の必要はありません。分かっているものから推定するそれが確率ではありませんか。　(1,5)や（5,25）があってと言うのではなく初めからどちらかが1つだけしかなく固定されているのです。

ロ）私は1/2だと言っているのではなく0または1とすべきではないかと言っているのです。 採ってきたbを中心に考えているのです。ｂは推定値でなく、例えば5という様にわっかているとしての議論なのです。皮袋の外からではなく内からの話なのです。何方か忘れましたがbを期待値となさって居られる方がありましたが(1,5)の時ｂは1か5で期待値の3ではあり得ません。

教師は3年前に辞めました、これからは教師根性はすてます。
ただ教師と云うのはそんなものだとご理解ください。

回答No.9

arrysthmia

脱線が長くなったので、質問に立ち返って…
少し考えやすいように、問題を等価な別の問題に変形してみましょう。

封筒がひとつだけあり、その中に２５万円または１万円のどちらかが
入っています。どちらが入っているかについては、ノーヒントです。
この封筒を５万円で買うことを持ちかけられたら、貴方は買いますか？

私なら、買いません。
与えられた情報からは２５万円か１万円かいと云う様な事は全く得られないので
その時には同じ確率で起こると考えるのが妥当　と考える人にとっては、
「期待値」１３万円ですから、買っても良いのではないでしょうか。

補足

No.10 の方から回答を先に書いています。ご参照ください。
元々スマリアンがお金の話としているのでそうしましたが数が大きい方が勝ちと云う話だと思って下さい。
1）　お話のような状況ならお金の賭けとしてｐ＝1/2とは一概にすることは出来ませんが数の話としてならやってみる価値はあります。
元の話は任意に（選んで）採ってきたものがたまたま5であったと云う状況なのです、初めのペアは固定されているのです。そこに他の思惑等が入る余地はありません。私はp=1/2と云っているのではありません。何回も云っているように1又は0とすべきと考えて居るのです。1/2を弁護しているだけでそれを否定する根拠がこの状況ではないように思うとしているつもりですが。

2）　(a,5a)から勝手に取ってきた（正確な表現ではありませんが推察下さい）時その期待値は3aというのは譲れない話です。それを外部より支えるものとして「取り替えるなら初めからもう一方のものを取ってくればよい」という常識（常識とは個人で違うものではありません、非常識と云う言葉があります）があります。これは初めのペアを固定して考えたものです。賛成かどうかと云うランクのものではありません。（これを否定する理由をお示し下さい）貴方のp=1/6は固定されたただ1つのだけの話に他のものを入れ込んでいるので御自分でも変だと思って3aと同様に・・・（何だったか忘れました）と仰っているのではありませんか。（正確な表現は面倒くさいので）pを考えるのはそれが推察できる時に用いるものでは有りませんか不定な物としてなら何の発展も無いと思うのですが

回答No.8

arrysthmia

←No.7 補足
「常識的に」といっていも、常識も、人によりいろいろあります。
貴方の「サイコロを振って1の出る確率が1/6と仮定するのでなく
1/6と主観的に推測する立場」が、
「コインをトスして表が出る確立が 1/2 であると考察する根拠が
『表と裏の２通りがあり、どちらか判らないから』」であるような立場
であるとすれば、御自分が「確率を利用して」いるという錯覚は
捨てたほうが良いと思います。

「与えられた情報からはどちらが多いと云う様な事は全く得られないので
その時には（サイコロで2の出る確率も5の出る確率も1/6考えると同様に）
同じ確率で起こると考えるのが妥当でありませんか。」という考えは、
白球と黒球の比率が分からないから、どっちが出る確率も 1/2 とする
考え方であり、
宝くじは、アタリとハズレの２通りで、アタルかハズレルか分からないから、
アタル確率は 1/2 とする考え方とも同じです。
それは、「確率を利用する」ときの「常識」には反しています。

サイコロについて言えば、歪んだサイコロや、細工のあるイカサマ用では、
各面が 1/6 づつの確率で出るとは限りません。等しく 1/6 づつと
考えられるのは、それが正しいサイコロだと仮定しているからです。
「正しいサイコロ」とは、各面が 1/6 づつの確率で出るサイコロのこと
ですから、それは単なる同語反復で、最初から「どの面も 1/6」と仮定
しているに過ぎません。何か考えて導かれた推測では、ないのです。
ただの仮定です。

No.6 の [A] [B] [C] の違いは、分かりましたか？

回答No.7

arrysthmia

←No.6 補足
＞「2つのもののうちどっちが入っているか分からない」
＞ そのほかには何の情報もない　貴君の定量化は出来ない

その通り。その場合、
「定量化できない」と答えるのが、正しく定量的な立場で、
「定量化できないから 1/2 とする」は、根拠ないヤマカンに過ぎない
と言っているのです。

＞ コインをトスして表が出る確率が1/2というのは貴方の定量化に当たりますか

コインをトスして表が出る確立が 1/2 であると、考察する根拠が
「表と裏の２通りがあり、どちらか判らないから」であったとしたら、
それは、確率論ではありません。
コインをトスして表が出る確立を 1/2 であると「仮定して」、
関連する他の確率の計算を始めるのが、確率論です。
基礎確率分布は、仮定するもので、主観的に推測するものではありません。

[B] と [C] の違いは、分かりましたか？

補足

お間違いならないように願います。
確率論の話をしているのではありません。確率論と云うのならその公理等も（最近はFundierungの公理等も入れるものもあるそうで色々な確率論があるようですね）全て示す必要があります。
確率を利用して常識的に考えてみよう云う話でサイコロを振って1の出る確率が1/6と仮定するのでなく1/6と主観的に推測する立場のはなしです。
確率論では現実的なものは議論できません。　私は基礎論屋で公理的な確率論は話として漏れ聞くだけです。　　定量化の正式な定義も知りません。　それが必要でない世界の話だとお考え下さい。

回答No.6

arrysthmia

←No.5 補足
＞ 初めから2枚の封筒（とその中身）は固定されているのですよ。
＞ 袋の中には黒か白かどちらかが1つだけ入っている状態と言えるでしょう

確率概念の根本的な部分が…
御自分が何を言っているか、把握して書いていますか？

サイコロを振る場合を考えてみましょう。
[A] 正しい立方体のサイコロを、これから振る。
[B] 振ったサイコロに、革製のカップが被せてある。

それぞれの場合に、サイコロの出目が１である確率を考えてみましょう。
[A] での確率が 1/6 で、
[B] での確率は「0 か 1」ですか？

＞ どの時点のことを言っていらしゃるかわからないのですが
＞「どちらが有利か分からない」で済まされるのでなく、
＞ 賭はしなくてはならない時と考えるべきです。

その場合、
どちらが有利か判らないから、どっちに賭けるべきかは判断できない。
だから、判断せずに、根拠無くどちらかを選ぶ…ということになります。

袋の中には、黒か白かどちらか一方が入っているのですから、
どちらに賭けても同等ということはありません。
賭けた結果が当たればアタリ、外れればハズレになります。
ただ、どっちが入っているかを知らないだけです。
その「どっちが入っていそうか」を定量化して考えるのが「確率」です。
「わからないから、どっちでも同じ」は、テキト－でしかありません。
「わからないものは、わからない」は、適当な、定量的態度です。

上の、サイコロの例で
[C] ディーラーがひとつの目を選んでテーブルに置き、カップを被せてある。
も比較してみましょう。
この場合、出目が１である確率は 1/6 ですか？ 「0 か 1」ですか？

補足

事前確率と事後確率
サイコロを振る前には1の目がでる確率は1/6
振った後では1が出ているかそうでないかで
1である確率は0か1です
「2つのもののうちどっちが入っているか分からない」
そのほかには何の情報もない　貴君の定量化は出来ない
　コインをトスして表が出る確率が1/2というのは貴方の定量化に当たりますか