どこが間違ってますかより拝借して

質問

>質問番号：4378786 どこが間違っていますか
上記　締め切り済みの質問を興味深く読ませてもらいましたが、個人的に解決ついたようなそうでないような。ということで、別の形で再度皆さんのご意見をお聞きしたいと思います。

以下のような状況を想定します。
１．私：「ここに２つの封筒を用意しました。中にお金が入っていますが、外からは見えません。
　　　　また２つの金額は異なっています。ＡさんＢさんで封筒を１枚づつ選んでください。」
２．Ａさんは１番目の封筒を、Ｂさんは２番目の封筒を選びました。中身はまだ見ていません。
３．私：「お２人には２つの選択肢があります。相談して決めてください。
　　　　（１）それぞれが選んだ封筒をそのまま持ち帰る。ゲームは終了です。
　　　　（２）それぞれが選んだ封筒の中身を取り出して皆にオープンします。
　　　　　少ないほうが相手の分も持ち帰ります。多かったほうは残念ながら手ぶらでお帰りください。
　　　　　お２人で相談して（１）か（２）を決めてください。
４．ここでＡさんとＢさんが考えています。
　　　Ａさんの考え：（２）をやって勝ったら総取りになって気持ちはよいけど。
　　　　　　　　　　　二人がもらえる総額が増えるわけではないし、俺とＢとの立場はまったく同じだから
　　　　　　　　　　　(１)で止めようが（２）をやろうが得られる期待値は総額の１／２で同じ。
　　　Ｂさんの考え：俺が選んだほうにＸ円入っているとする。（１）でやめると　得られるのはＸ。
　　　　　　　　　　（２）をやると勝つか負けるかは１／２で間違いない。
　　　　　　　　　　勝ったら、Ｘ＋Ｙ得られる。Ｘ＋Ｙ＞２Ｘ　（少ないほうが勝つのだから）。負ければ０。
　　　　　　　　　　なので期待値は（Ｘ＋Ｙ）/２＞Ｘで（１）より大きいではないか！　（２）をすべきだ！
　　　Ａさんの反論：それを言うなら俺だって勝ったときはＸ＋Ｙ＞２Ｙ。負ければ０。
　　　　　　　　　で期待値が増えることになるじゃないか。おかしいよ。
　　　Ｂさんの質問：でも勝つか負けるかは１／２でまちがいないよねぇ。得られる額も間違ってないでしょ？

ＡさんとＢさんで見解が分かれています。どこが間違っているのでしょう？　これ質問番号：4378786の変形とみて良いですよね？

回答No.17

alice_44

「(2) をやると勝つか負けるかは 1/2」であると仮定すると、
その仮定の下での期待値 X' は計算できます。
あくまで、「仮定の下での期待値」ですが。

文９ の間違いを正すとすれば、
→「もし勝ったとしたら、(X<Y だから) 期待値 (X+Y)/2 は X より大きい」
です。 当然の話ですね？
一方、同様に
「もし負けた時は、(X>Y だから) 期待値 (X+Y)/2 は X より小さい」
も成り立つので、
勝つか負けるか判らない時点で「その期待値 X' は X より大きい」は
成立しないのです。

回答No.16

alice_44

新しい問題に関心が移ってしまったようですが、
今回質問の B の間違いが、文３ よりも 文９ にある
ことは、そのうち再考して理解してください。

お礼

何度も回答いただいて恐縮です。
選んだ封筒の金額を知った上でも文９がまちがいなんですね。
文８の式は前にも書いたようにあきらかに間違っておりました。

文１：「俺が選んだほうに16万入っていた。」　
文２：「（１）でやめると　得られるのは16万」　　　
文３：「（２）をやると勝つか負けるかは1/2で間違いない」　
文４：「相手の選んだほうの金額をYとする」　
文５：「もし勝ったとしたら、16万+Y得られる」　
文６：「そのときは（勝ったときは）ルールから16万+Y>32万」
文７：「もし負けた(16万>Yの時)は得られる額は0」
文８：「なので期待値をX'とすると」　　　←期待値そのものは計算できない。が
文９：「その期待値X'はXより大きい」　　 ←文３が仮定できても間違っている

ということですね。う～んこんがらがってきました。

回答No.15

alice_44

それはオカシイ。
B が中身の額を知るのは、封筒を選んだ後のことです。
A, B どちらの選んだ封筒の金額が大きいかの確率に、
B が後で知った金額の数値は影響し得ません。

封筒を選ぶ時点で、封筒の厚みや重さが違うとか、
選択に影響するような非対象性がないとは
明言されてはいないので、本当に確率 1/2 かは
実は判らないのですが、そのことと
A No.14 補足の内容とは、また別の話です。

お礼

回答ありがとうございます。
知った後に対称性がくずれるという私の主張は間違いでした。
友人から事前確率に何の言及もないのに、Bが金額を知ったとして状況に変化はない。
ただ、知る前は1/2と推定（仮定）してもよい。（理由不十分の原則というらしい）
知った後は、1/2と仮定すること自体に妥当性がないんじゃないかとの意見です。
もう少し考えてみようと思います。

回答No.14

alice_44

ちなみに、背理法によって仮定が否定できるのは、
仮定以外の部分に間違いがないことが
保証できる場合だけです。

また、文３ を仮定することには、
(主観的ですが、)コインを投げて
表が出る確率を 1/2 と仮定するのと
同程度の妥当性はあると思われます。

お礼

回答ありがとうございます。
16万遠いことを知った後では対称性がくずれるので1/2と仮定することの妥当性はないように思えます。

いずれにしても　この質問はいったん示させていただきたいと思います。
別の形の質問を新たにおこしますので、暇があれば見てやってください。

回答No.13

alice_44

←A No.11 補足
x=16万 を知っていようが、いまいが、
文９ が成り立つのは、X＜Y の場合だけです。
X＞Y の場合もありえるのだから、
文９ は真ではありません。この点は、
文３ の仮定が事実と合っていようが、いまいが、
共通に言えることです。

文３ は、正しい保証も、間違っている証拠も、
どちらも無いけれど、
文９ には、確実に間違っている証拠があるのです。

回答No.12

DJ-Potato

おっしゃる通り、元の問題では、期待値は求まらないのです。
求まらない期待値を論じている所が、Bの間違っているところ、ということでいいのではないでしょうか。

あくまで確率や統計というのは、同じ試行を無限回やった時にどうなるか、という議論であって、今この１回がどうか、ということに関してはまるで役に立たないですよね。

宝くじの当選金の期待値は常に購入額を下回りますが、宝くじで儲かる人はいるのです。

回答No.11

alice_44

お久しぶり。No.3 です。
A No.10 補足のように考えて問題を変更しても、
それはそれで面白いのですが…

もとの質問で、文３は命題ではないと思います。
あれは、「仮定」です。
A, B が最初に手にした封筒のどちらの中身が
大きいか、その確率は与えられていません。
質問文中の B の推論は、文３を仮定し、
その仮定の下に行っているのです。

仮定が正しいか否かは神のみぞ知るですが、
文３の如く最初の封筒を配ることは実際に可能です。
その場合も、B の主張どおりだとすると
A にとっても B にとっても
交換したほうが期待値が上がる
というパラドクスは起こります。
よって、B の間違いは、文３の仮定から
生じた訳ではないと判ります。

文６の命題が、X＜Y という条件下にしか
成り立たないため、文９の命題が偽なのです。
A No.3 で述べたとおりです。

お礼

回答ありがとうございます。あと１回だけお付き合いください。

元の問題と同じ設定で、Bが選んだ数値を確認した後に以下のような主張をしたとしたらどこが間違っているのでしょう？
文１から文９のXを具体的な数値に置き換えただけです。

文１：「俺が選んだほうに16万入っていた。」　
文２：「（１）でやめると　得られるのは16万」　　　
文３：「（２）をやると勝つか負けるかは1/2で間違いない」　
文４：「相手の選んだほうの金額をYとする」　
文５：「もし勝ったとしたら、16万+Y得られる」　
文６：「そのときは（勝ったときは）ルールから16万+Y>32万」
文７：「もし負けた(16万>Yの時)は得られる額は0」
文８：「なので期待値は（16万+Y)*1/2+0*1/2=(16万+Y)/2」　
文９：「その期待値（16万+Y)/2はXより大きい」

この場合でも、文９がまちがいなのでしょうか？　
私には文３が間違っているように思います。文３がもし正しかったらそれ以降にまったく矛盾はないように思えるのですが？
文８の左側(16万+Y)*1/2は勝つ場合の期待値への寄与、右側0*1/2は負けた場合の期待値の寄与で合算して(16万+Y)/2です。
期待値は勝つ場合(16万<Y)も負ける場合(16万>Y)も考慮した式だとおもえますが？

Bが選んだ数値を知らない段階では文９が間違いで、知った場合は文３が間違いなのでしょうか？
それとも、Bが選んだ数値を知らない段階では文９が間違いで、知った場合でもやはり文９が間違いなのでしょうか？

私はどちらの場合も文３が間違いと考えています。少々こんがらがってきましたが。

回答No.10

DJ-Potato

#1です。
泥沼にはまりましたね。

#5の補足
>Bの主張する期待値の計算は
>
>勝てる時（X<Y)　X+Y
>負ける時（X>Y)　0
>それぞれ1/2で起こると考えて　(X+Y)*1/2 + 0*1/2 = (X+Y)/2　と計算しています。

ここまでは正しいのですが、この後に
「(X+Y)/2 > X」
というのが間違っています。
これが満たされるのは、勝った時だけで、負けた時は
「(X+Y)/2 < X」
となります。
最後に、勝った時と負けた時を合わせて計算しているので、勝った時の条件「X>Y」を引用して「(X+Y)/2 > X」とは言えないのです。

変数を混同すると混乱するので、
勝った時の自分の封筒の中身をX、相手の封筒の中身をYとすると、X<Yですね。
負けた時の自分の封筒の中身をx、相手の封筒の中身をyとすると、x>yですね。

#6お礼にあるように、損得で計算しても、
勝った時の得は+Y
負けた時の損は-x
期待値は(Y - x)/2です。

ここで重要なのは、(Y-x)≠(Y-X)ということです。
作業の間、封筒の中身を確認し続けてれば、X = y , x = Yとなっていることがわかると思います。
つまり、(Y-x)/2=0なのです。

勝った時の自分の封筒の中身と、負けた時の封筒の中身。
最初に持っていた封筒の中身をXと仮定していますが、その時点で勝敗は決まっているので、仮定の時点でXの値は変動しているのです。

期待値で(X + Y)/2 > Xと言っている段階では、勝った時と負けた時の条件を合わせているので、
勝つ条件と負ける条件を同時に満たす時、すなわち空集合での条件です。

命題「男ならシンジ、女ならレイと名付けよう」に対して、「レイジ」と命名するシチュエーションを議論しているような感じですかね。
あ、余計わかりにくくなりましたか？

お礼

回答ありがとうございます。
私の論旨がうまく伝わってないのかもしれませんが、
次のように封筒を決めたとします。1から100までの数値からランダムに2個選んで封筒の金額とする。
ここで、Bの考えの、
文１：Bが選んだ数値をXとする。といっているのは、X=1,2,3,4...と言っているわけではないのです。
　　　分かっていないが、ある1つの数値だと言っているのです。例えばX=20としましょう。
　　　１）勝った時というのは、X<Y　すなわち20<Yのことです。
　　　２）負けた時というのは、X>Y　すなわち20>Yのことです。
スモールxが出てくる余地はないのです。Xは１）でも２）でも同じものです。Yについては１つの数値ではなく
いろんな可能性を考えているわけです。
その上で、私が言いたいのは、１）の確率と２）の確率を1/2にしてはいけないと言うことです。
正しくは　P(X<Y|X)=P(20<Y|20)=0.8　P(X>Y|X)=P(20>Y|20)=0.2
よって期待値は、Σ[Y=21,100](20+Y)*0.8 +Σ[Y=1,19]0*0.2 = 64.4
ここで期待値が計算できたのは、1から100までの数値からランダムに2個選んで封筒の金額とする。として
事前に確率分布を与えたからです。元の問題ではP(X<Y|X)は不明ということです。

回答No.9

noname#175206

お礼、ありがとうございます。#8です。

>反論をお待ちします。

　ご質問があれば、分かる範囲内でお答えします。特に反論や議論ということはありません。ここまで、ご指定の条件で、分かる範囲内で、シミュレーション結果を含めて、回答申し上げました。

　もし、「こういうシミュレーションの結果、こうだった。これはなぜか？」ということがあれば、そうですね、このご質問もずいぶん後ろに下がりましたし、補足やお礼ではなく、またご質問を立てられてはいかがでしょうか。

　それが興味ある設定であれば（モンティホール問題のように直感と結果が違うなど）、優良な回答者様が、あれこれ考えてくださるのではないかと思います。

回答No.8

noname#175206

お礼、ありがとうございます。#7他です。

>文１'：「俺が選んだのは16万円」　←これは事実で真
>文２'：「（１）でやめると　得られるのは16万円」　　　←これは命題　真
>文３'：「（２）をやると勝つか負けるかは１／２で間違いない」　←これは命題　私はここが偽と考えます。
>文４'：「相手の選んだほうの金額をYとする」　←これは定義だから真偽はない。
>文５'：「もし勝ったとしたら、16万+Y得られる」　←これは命題　真
>文６'：「そのときは（勝ったときは）ルールから16万+Y>32万」　←これは命題　　真
>文７：「もし負けたとすれば、得られる額は0」　←これは命題　真
>文８：「なので期待値は（16万+Y)*1/2+0*1/2=(16万+Y)/2」　←これは命題　文３’が偽なので間違っている文９：「その期待値（16万+Y)/2は16万より大きい」　←これは命題　文８’より偽

>文３が間違いと考える根拠はあえてまだ示していません。

　そういう条件（自分の賭け金だけ分かる）では、文3'が間違いだという一例は申し上げております。

#6>　発展形として、互いに隠した金額で同様のこと（相手の賭け金だけ分からない）をやると、「掛け金＞0、端数無し」の前提条件で、双方の賭け金は1円に落ち着くでしょう。

　これは、賭け金が操作できるという、極端な場合です。

　賭け金が操作不能として、賭け前に自分の賭け金が分かり、賭けの結果として双方の金額が確認できる場合も解法はあります。
　もし、数回以上、賭けが行われるとすると、利益を最大にする戦略が策定できます。試行回数が増えれば、最適戦略が次第に定まって行きます。

　ただ、相手も自分の賭け金が分かるという対等な条件を与えると、少ない試行回数では予想の優劣が結果に出てきますが、やはり多数回の試行の結果の利益、つまり期待値はイーブンという結果となります。

　それの詳細は省略します。ご興味があれば、お調べになられると、いろいろ興味深いかもしれません。

　まあ、確率の基礎的な考えについてのEテレのある番組で、こういう最大化の予測についても説明を行っていました。本変形設問と少し違いますが、考え方は同じでしたので、ご覧になられておられれば、応用可能ということがお分かりでしたでしょう。
　やはり、確率であれこれ考えるのは、面白い題材ではあるのでしょう。

お礼

回答ありがとうございます。たぶん貴方と私の認識にそう違いはないと感じています。
元の質問に戻って私の結論を述べると以下になります。

文１：「俺が選んだほうにＸ円入っているとする」　←これは定義だから真偽はない。
文２：「（１）でやめると　得られるのはＸ」　　　←これは命題　真。
文３：「（２）をやると勝つか負けるかは1/2で間違いない」　←これは命題　これが間違い
　　勝負して勝つか負けるかの確率が1/2として考えられるのは、ルールから勝つか負けるかしかないことと、
　　AとBを入れ替えても相違が生じる十分な理由がないことから、消極的ではあるが１／２と考えて良い。
　　ということだと思います。ベイジアンでない確率論者だと1/2すら言えないと言うかもしれません。
　　ただ、文１が意味するところは、いろんな金額が考えられるなかでXが選ばれたとするです。
　　このXは分布でもなくある1つの値です。
　　なので、これはXが選ばれたという条件のもとで勝つか負けるかを考えなくてはいけません。条件付き確率です。
　　Bが勝つ確率：P(X<Y|X)　Xを選んだと言う条件のもとで勝つ（X<Y)確率
　　Bが負ける確率：P(X>Y|X)　Xを選んだと言う条件のもとで勝つ（X<Y)確率
　　上記1/2はΣP(X<Y|X) (全てのXについて条件確率の和）を消極的ながら1/2と考えてもいいかなと言うことです。
　　もちろん、P(X<Y|X)は不明です。
文４：「相手の選んだほうの金額をYとする」　←これは定義だから真偽はない。
文５：「もし勝ったとしたら、X+Y得られる」　←これは命題　真。
文６：「そのときは（勝ったときは）ルールからX+Y>2X」　←これは命題　　真。
文７：「もし負けたとすれば、得られる額は0」　←これは命題　真。
文８：「なので期待値は（X+Y)*1/2+0*1/2=(X+Y)/2」　←これは命題　偽
　　　正しくは、期待値=(X+Y)*P(X<Y|X) + 0*P(X>Y|X)　です。
文９：「その期待値（X+Y)/2はXより大きい」　←これは命題　文８が偽ですので偽
結論：Bは条件付確率に言及している。その上で文３が間違っている。文8、9は文3が正しければ正しい推論です。
もし、どんなXについてもP(X<Y|X)=1/2ならBの推論は正しいと思います。ただ現実的にそんな事（分布）は有り得ません。

反論をお待ちします。

補足

すいません、記入ミスです。
誤：Bが負ける確率：P(X>Y|X)　Xを選んだと言う条件のもとで勝つ（X<Y)確率
正：Bが負ける確率：P(X>Y|X)　Xを選んだと言う条件のもとで勝つ（X>Y)確率