幾何の証明を一緒に考えていただけないでしょうか？

質問

途中までは自分で出来ましたが、最後の一歩でつまづきました。
ヒント、アドバイスをお願いします。
証明の添削、アドバイスお願いします。

平面ではなく、球面上にあり、頂角の大きさが、α、β、γの三角形の面積をπ－（α＋β＋γ）と定義したとき、

「三角形をどのように三角形に分割しても、細分三角形の面積の和は元の三角形の
面積になる」

ことを証明します。
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まず、三角形を適当にｎ個の細分三角形に分割すると、その細分三角形の角は３種類にわけることができる。
(1)もとの三角形の頂角が分割されてできた角（赤で頂角を囲む）
(2)辺が分割されてできた角（黄色でまとめて丸で囲む。丸の中にある角の合計はπ）
(3)それ以外の角（青でまとめて丸で囲む。丸の中にある角の合計は２π）
である。

このｎ個の三角形の面積の和は、
ｎπ－（α＋β＋γ＋ｍπ＋２ｓπ）である。（ｍは黄色の丸の数、ｓは青い丸の数）
よってｍ＋２ｓ＝ｎ－１がすべてのｎで成り立てば、上の命題は満たされたことになる。
ｍ＋２ｓ＝ｎ－１が成り立つことを帰納法で証明する。

ｎが偶数のとき。

例えば、ｎ＝２のとき、図より
（ｍ，ｓ）＝（１，０）
よってｍ＋２ｓ＝１

もうひとつ、例をみてみるとｎ＝４のとき、
（ｍ，ｓ）＝（１，１）、
（３，０）
よってどちらの時も
ｍ＋２ｓ＝３

ｎ＝ｋのとき、
ｍ＋２ｓ＝ｋ－１が成り立つと仮定すると、すなわち
（ｍ，ｓ）＝（１，(ｋ-２)/２）
（３，(ｋ-４)/２）
・・・・・（ｋ－３，１）（ｋ－１、０） ……☆
が成り立つと仮定する。すると
ｎ＝ｋ＋２のとき、
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ここまですすめられたのですが、先が分かりません。
このままｋ＋２を☆の式に代入して証明終了ともっていってもいいのでしょうか？

よろしくお願いします。

回答No.1

ojisan7

この問題はどなたが考えた問題ですか？

>「三角形をどのように三角形に分割しても、細分三角形の面積の和
>は元の三角形の面積になる」

「分割」の定義が明らかではないですが、普通、どんな幾何学でも、上記の性質が成り立つように「分割」を定義します。ですから、このことは証明の必要がありません。どんな幾何学でも成り立つ性質です。

それから、ちょっと気になったことは、球面過剰は（α＋β＋γ）－πでは？

せっかく、証明を書いていただいたのですが、申し訳ありませんが、証明の部分は斜め読みしただけで、詳しくは読んでいません。