蒸発速度

質問

一様密度で球状の水滴がその表面から蒸発する速度は、その表面積に比例する。このとき、水滴の半径を時間の関数で表せ。

という問題なのですが、蒸発速度が表面積に比例とあるので、
v=dx/dt=k*4πr^2
という常微分方程式をつくって解いたのですが、自信がありません。

どなたか説明してくれると助かります。よろしくお願いします。

回答No.4

noname#70519

「蒸発する速度は、その表面積に比例する」という物理現象を
「蒸発による水滴の'質量'の減少速度が水滴の表面積に比例する」と捉え方と
「蒸発による水滴の'半径'の減少速度が水滴の表面積に比例する」というのが
考えられますが、おそらく前者の方が当てっているでしょう。

そう考えて、密度をρ、半径をr、時間をtとすると
-d{ρ・(4πr^3)/3}/dt=k・(4πr^2)
-ρ・(4πr^2)・(dr/dt)=k・(4πr^2)
-ρ・(dr/dt)=k
-ρ・∫[R～r]dr=∫[0～t]k・dt　（R：水滴のt=0における半径）
-ρ・(r-R)=k・t

∴　r=R-(k・t/ρ)

お礼

質問曖昧でご迷惑おかけしました；；

ここでは前者の意味です。
計算過程まで記述していただき、大変わかりやすく理解できました。

ありがとうございました＾＾

回答No.3

ojisan7

物理というのは公式を鵜呑みにするのではなく、その物理的な過程を現象に即して理解することが大切なことです。
「水滴が蒸発する速度」とは何ですか。蒸発する速度というのは、普通、物理的に考えて質量の減ずる速さをいうのではないでしょうか。このことは、物理的なセンスに関わることですので、私がこれ以上申し上げることは控えておきましょう。でも、
ｒ＝1/(1/r0+4πkt）
となることは物理的におかしいというセンスは必要ですね。

お礼

私は、蒸発速度というものがどういった物理的意味をもつのかよく考えていないまま、質問をしていました。
蒸発速度は、ここでいう水滴の質量の減少速度だということがわかりました。符号の意味などもわかりました。
わかりやすい回答ありがとうございました＾＾

回答No.2

Mr_Holland

＞v=dx/dt=k*4πr^2

　水滴の半径をｒとしているのですよね。
　だとすれば、dx/dtをdr/dtと書き直し、蒸発することはdr/dtが負の方向なので「－」を書き足せばOKだと思います。

　dr/dt＝-4πkr^2

　あとは、ｔ＝０のときの水滴の半径が書かれていないので、初期条件としてｒ０とでもおけば、

　ｒ＝1/(1/r0+4πkt）

と求められると思います。

回答No.1

ojisan7

>>v=dx/dt=k*4πr^2

この式で、ｖとかｘは何ですか？ちょっと意味不明です。
-ρd/dt(4πr^3/3)=k*4πr^2
とした方が分かりやすいと思いますが・・・
d/dt(4πr^3/3)は分かりますよね。合成関数の微分
dV/dt=(dV/dr)(dr/dt)を行えばいいですね。