双曲線について

質問

楕円の場合、短軸ｂ点と焦点Fと原点Ｏを囲む三角形ができるので三平方の定理が楕円と関係していることがわかりｂ＝√a^2-c^2という式が使えるんだなぁというのはわかりますが、

双曲線の標準形を導き出すときも、ｂ＝√c^2-a^2というのを|PF-PF'|=2aに代入してときますが、双曲線と三平方の定理が関係してるからｂ＝√c^2-a^2が使えるのでしょうか？それとも式を綺麗にまとめる為だけにｂ＝√c^2-a^2をつかってるだけなのでしょうか？

回答No.1

take008

双曲線の場合，焦点Ｆから漸近線に垂線を引いて交点をＨとすると，ＯＨ＝ａ，斜辺がＯＦ＝ｃの直角三角形になります。
ゆえに ＦＨ＝ｂ，tan∠HOP＝ｂ/ａ となり，漸近線の傾きが ｂ/ａ とわかります。
楕円のｂが短軸というのは直接目に見えますが，双曲線のｂは，ｂ/ａが漸近線の傾きで間接的に見えます。

楕円の場合，Ｐのｘ座標が０のとき，ＰＦ＝ＰＦ'＝ａですが，
双曲線の場合 ｘ→∞ のときを考えると，ＯＨ＝ａ がわかります。