２次関数の解の配置の問題における、解と係数の関係の利用について

質問

はじめまして。
高１のtokonokogといいます。

「xの２次方程式x^2-2px+p+2=0の２つの解が
　ともに３より小さい正の数であるように、
　定数pの値の範囲を求めよ」

　という問題で、定石からいけばグラフで条件を整理して
いく問題ですが、解と係数の関係を用いることができますよね？
　この場合、0<α<3,0<β<3だから、α－3<0とβ-3<0を使って
解くことはできます。そうすれば解ける、という事はわかるのですが、
なぜいちいちα-3の形に持っていくのでしょうか？
確かにそうすれば解けますし、α<3のままではどうもうまくいかない
ということもわかるのですが、なぜうまくいかないのでしょう・・・？

　どうか教えてください。よろしくお願いします。
指数・対数関数、微積分(数学II）は使ってもらっても大丈夫です。(使わないとは思いますが・・）

回答No.11

arrysthmia

＃９への補足に関して…
それが知りたければ、＃６の「類題」を解いてみるとよい。

( q, r ) を座標平面に図示して、その上に
p = q / (-2) = r - 2 で表される直線を書き込んでみると、
何故、質問の問題で 0<α, 0<β という条件を忘れていても
答えだけ当たってしまうのか？　が判ります。

回答No.10

tecchan22

＞あ・・・そうか！
＞0<α<3,0<β<3 ⇒　0<α+β<6,0<αβ<9
＞の方に問題があるのかなぁと思っていました。
＞この逆が偽であるから同値にならないってことですね。

その通りです。

＞でも、
＞-3<α-3<0,-3<β-3<0　⇔　-6<(α-3)+(β-3)<0,0<(α-3)(β-3)<9
＞はなぜ成り立つのでしょうか？

いやいや、そうでない。これは同様に駄目です。

「α＞０かつβ＞０」と「α＜３かつβ＜３」に分けて、
前者は「α＋β＞０かつαβ＞０」と同値。
後者は「３－α＞０かつ３－β＞０」より「（３－α）＋（３－β）＞０かつ（３－α）（３－β）＞０」と同値。

とやるわけです。
なんだ、α＞０，β＞０の条件、つい落としたのかと思っていたが、
本当に分かっていなかったんやね。

それだけのことです。

回答No.9

tecchan22

＞ずっと考えましたが・・・
＞やはりわかりません。
＞何か基本的なことだとは思うのですが・・・

堅実な方法は、グラフに図示することだが、

あるいは、素朴に数値を当てはめて考えてみてごらん。

α，βのうち一つを３より大きくして、足して６未満，かけて９未満になるように出来るか出来ないか、考えてみたらよい。

（反例が一つあれば、正しくないと分かる）

補足

回答ありがとうございます。

あ・・・そうか！

0<α<3,0<β<3 ⇒　0<α+β<6,0<αβ<9

の方に問題があるのかなぁと思っていました。

この逆が偽であるから同値にならないってことですね。

でも、

-3<α-3<0,-3<β-3<0　⇔　-6<(α-3)+(β-3)<0,0<(α-3)(β-3)<9

はなぜ成り立つのでしょうか？

(α-3)(β-3)=αβ-3(α+β)+9

に出てくる-3(α+β)に何か意味があるように僕には思えます。

0<α<3では矛盾が生じるのに、-3<α-3<0にすると矛盾しない。

その差は何なのか？これが今回の質問で知りたかったことです。

僕の書き方が下手すぎたせいで、うまく伝わりませんでした。

申し訳ありません。

回答No.8

tecchan22

＞でも、0<α<3,0<β<3 ⇔0<α+β<6,0<αβ<9
＞とはならないのでしょうか？

これも、自分で考えて貰いたいのです。

確かにこれが成り立つならば、それを使った方が簡単ですね。

こういう疑問が大事なんで、良い発想を持っているのだから、それを「自分でチェックしよう」、という気持ちをもっともっと持って貰いたいですね。

これは自分で出来るはずです。どうしても分からなかったら、また聞いて下さい。

補足

ずっと考えましたが・・・

やはりわかりません。

何か基本的なことだとは思うのですが・・・

できれば教えていただけるとうれしいです。

よろしくお願いします。

回答No.7

take_5

＞定石からいけばグラフで条件を整理していく問題ですが、解と係数の関係を用いることができますよね？

解と係数を使うのが、最も危ない方法だろう。実際、君は背伸びしているが、いかんせん実力が伴っていない。

（解法-1）

f（x）＝x^2-2px+p+2＝0とすると、2つの解（重解を含めて）が0＜x＜3にある条件は、判別式≧0、f（0）＞0、f（3）＞0、0＜軸＜3。

（解法-2）

x^2＋2＝（2p）*（x-1/2）と変形すると、2次曲線：y＝x^2＋2と直線：y＝（2p）*（x-1/2）が　0＜x＜3で2交点（重解を含めて）持つ条件として求められる。

と、考えるほうが簡単。

＞指数・対数関数、微積分(数学II）は使ってもらっても大丈夫です。(使わないとは思いますが・・）

そんな事はない。ご希望通りに、微分を使う方法はあるよ。
x^2＋2＝（2p）*（x-1/2）より、条件からx-1/2≠0であるから、2p＝（x^2＋2）/（x-1/2）と変形する。
その上で、微分を使ってy＝（x^2＋2）/（x-1/2）のグラフを書き、それとy＝2p（x軸に平行な直線）との交点が　0＜x＜3にある条件を求める。

回答No.6

arrysthmia

α-3 の形に持っていくとスムースに解けるような気がするのは、錯覚です。
この問題は、0<α<3, 0<β<3 となる p の範囲を求める問題ですが、
x^2 -2px +p+2 = 0 という方程式が、偶然、
α<3, β<3 ならば 0<α, 0<β となるような方程式であるために、
No.1 補足のように α<3, β<3 だけ使って 0<α, 0<β を無視しても、
p の値だけは、正解どおり求まってしまうのです。
しかし、アレでは、皆さんが書いているように論証に難がありますから、
大幅減点を喰らうでしょう。

類題：
x の２次方程式 x^2 +qx +r = 0 の２つの解が
ともに３より小さい正の数であるように、
定数 q, r の条件を求めよ。

を考えてみて下さい。
条件を 0<α<3, 0<β<3 で扱うことと、-3<α-3<0, -3<β-3<0 で扱うことに
何か違いがありますか？

回答No.5

tecchan22

他の方ご指摘の通り、＃１の補足の解では、
α＞０，β＞０となる条件を考えてないから（答えはたまたま一致するが）解としては駄目やね。

他の方が考えさせようとしておられるのに蛇足やが、もう少し言うと、
たとえばα＜３，β＜３を、α＋β＜６かつαβ＜９としたら、同値な条件になりますか？
それは考えてみたことがありますか？

そういうことを考えてみると、どうしてそう解くか分かると思うよ。

補足

回答ありがとうございます。

確かにそれですと、
α＝-4,β＝-5だったらαβ＝20とかになって、
9なんて軽く超えてしまいますね。

でも、0<α<3,0<β<3 ⇔0<α+β<6,0<αβ<9
とはならないのでしょうか？
また、なぜこれが成り立たないのしょうか？
教えてください。よろしくお願いします。

回答No.4

koko_u_

>質問が長くなりすぎると思い省きましたが、
>書いておくべきでした

解が正の数であるという条件が無視されていますね。
「xの２次方程式x^2-2px+p+2=0の２つの解がともに３より小さい正の数」をキッチリ漏れなく p の条件に還元することが重要です。

0 < α、0 < β と「同値な」内容を α、βの対称式でどのように表現するかを考えるのが良いでしょう。
α < 3、β < 3 についても同じ思考です。

回答No.3

m234023b

α＜3，β＜3のままだったら，解と係数の関係「αβ＝c/a」の符号が正か負かで場合分けをする必要があるからです．

それに対し，α-3，β-3を用いればα-3，β-3は常に負なのでその積は正となり場合分けの必要がなくなります．

補足

回答ありがとうございます。

なるほど、確かに場合分けが必要ですね。
そして、α-3とすれば・・・・・なるほど！

しかし、今回の問題では、
「3より小さい正の数」ということで、
α,βは負にはならないような気もします。
また質問してすみませんが、どうなんでしょう・・・？
よろしくお願いします。

回答No.2

noname#75273

>> α－3<0とβ-3<0を使って解くことはできます。
どのように解いたのかがわからないのでなんともいえません。

補足

すみません、下をご覧ください。