２次関数の解の配置の問題における、解と係数の関係の利用について

質問

はじめまして。
高１のtokonokogといいます。

「xの２次方程式x^2-2px+p+2=0の２つの解が
　ともに３より小さい正の数であるように、
　定数pの値の範囲を求めよ」

　という問題で、定石からいけばグラフで条件を整理して
いく問題ですが、解と係数の関係を用いることができますよね？
　この場合、0<α<3,0<β<3だから、α－3<0とβ-3<0を使って
解くことはできます。そうすれば解ける、という事はわかるのですが、
なぜいちいちα-3の形に持っていくのでしょうか？
確かにそうすれば解けますし、α<3のままではどうもうまくいかない
ということもわかるのですが、なぜうまくいかないのでしょう・・・？

　どうか教えてください。よろしくお願いします。
指数・対数関数、微積分(数学II）は使ってもらっても大丈夫です。(使わないとは思いますが・・）

回答No.1

koko_u_

>この場合、0<α<3,0<β<3だから、α－3<0とβ-3<0を使って解くことはできます。
本当に解けていますか？補足にどうぞ。

補足

解と係数の関係より（αをa、βをbで書きます）
a+b=2p
ab=p+2

a-3<0かつb-3<0より、
(a-3)+(b-3)<0 ・・・(1)
(a-3)(b-3)>0　　・・・(2)

(1)より
　a+b<6
⇔2p<6
⇔p<3 ・・・(1)'

(2)より
　ab-3(a+b)+9>0
⇔p+2-6p+9>0
⇔p<11/5　　・・・(2)'

また与えられた２次方程式は２つの異なる実数解をもつから、
判別式をDと置くと、条件はD>0
　D/4=p^2-(p+2)
=p^2-p-2
=(p+1)(p-2)>0
よって
　　　p<-1,2<p　　・・・(3)

(1)、(2)、(3)より
2<p<11/5　　・・・(答)

質問が長くなりすぎると思い省きましたが、
書いておくべきでしたかね・・・すいません。