線形代数(行列)の応用、および世界観について

質問

大学１年生、数学専攻です。
最近、線形代数について学習をはじめたのですが、
どうも小さい部分からやっているせいか、全体像がつかめません。
そこで教えて欲しいのですが、

・なぜ行列、行列式を利用しなければいけないのか。
　それは微分方程式や、グラフ理論などをある意味「視覚化」
　するものなのか。私には余計ややこしい気がします。

・行列式や、固有値、写像や基底というのは、
　この分野を理解する上で、どういう役割があるのか。
　あるいは、お互いにどのようなつながりがあるのか。

大学数学に関してはまだまだ初心者なので、
なるべく解りやすく説明していただけるとうれしいです。

(本は数冊読んでみましたが、どうしても全体像がつかめません。
数式などは提示しなくてもいいので、「言葉」の面での
説明をお願いします。）

回答No.3

stomachman · ベストアンサー

補足を拝見しました。

　ご質問は「鶴亀算と連立方程式と行列は本質的に何も変わらない。」そういうご主旨でしょうか。出てくる答は同じでも、抽象度が違います。
　ベクトルの張る空間に対する演算子として行列を扱うことで、何次元の空間でも幾何学が展開できます。また行列そのものを対象として扱うことによって、連立方程式系同士の関係が論じられます。これらの事はお気づきでしょう？
　線形代数は一般に無限自由度の線形空間を対象にします。ちょっと不正確だけど無限次元の行列を扱うようなもの。要素に分解していたんじゃ扱えません。行列の本を何冊見たって、行列のことしか書いてないですよ。取りあえず、抽象代数、あるいは関数解析の本でも読んでみてください。

　大学は教えて貰うのを待っている所ではありませんよね？むしろ、教授や先輩や図書館といった「設備」を自由に活用する権利を持っていらっしゃるんです。（持ち腐れのまま卒業するひとも多いようですが...）今時の大学は登録していない講義を勝手に聴講に行くと怒られるンですか？まさかそんなバカな。どんどん見聞をひろめ、先輩方に教えを請うのも良い手です。教授室に押し掛けて直に相談するのもアリです。ビビることありません。がっちり利用致しましょう。数学科の学生さんとして、どんな分野をやろうとなさっているかにも依ると思いますので、いろいろ相談して適当な教科書を紹介して貰うのが良いと考えます。

お礼

> 連立方程式系同士の関係が論じられます。

なるほど．．．としか言いようがないほど、気付きませんでした。
行列を学ぶときは行列しか頭に思い浮かばず、
連立方程式のときも連立方程式しか頭に浮かばず、という状態でした。
お互いの関連性を考えながら学習していかなければいけないですね。
図だとほんの限られた次元しか表現できないけれど、
行列を使えば、簡単(じゃない？)にそれを表現できる、
何次元でも演算その他が可能である、ということですね。

…ちなみに、通信制の大学なので、施設とか無いんですよね。
　教授の言うこともどうも的を得ないで…
　私が今やっているのは、そういった行列の演算法とか
　関連性の探し方とかいう、本当に技術的なものなんですね。

回答No.2

taka41

数学ド素人の個人的意見なのですが、
線形って計算機科学とかでは必須ですよね。
計算機(パソコンなど)をつかった数値計算では
問題を行列計算に帰着してるしていることが多いと思います。
"数値計算上、線形代数がないと何もできん"というところじゃないでしょうか。

また、量子力学などの物理学の分野でも鬼のように出てきます。
(基本的な量子力学って ＝線形代数みたいに思います)

線形代数の応用といえばやっぱり計算機とか情報科学とかですかね。
そういう応用関係の本をちらっとでも見てみるのもいいかもしれませんね。
ちなみにわたしは"線形代数とその応用(産業図書)"という本が簡単でおもしろかったです。

お礼

どうもありがとうございます。
高校の理系物理までの先入観なのでしょうか、
微積分ができれば物理学なんて出来てしまう。
そういうふうに考えていましたが、
高次元になると、やはり行列を使った考え方が必要なんですね。

回答No.1

stomachman

stomachmanはこれ苦手。未だに自由自在に行かないのが線形代数で、しょっちゅう数値計算をやってみて途中結果を確認しながら計算をします。stomachmanと同じく、ものごとをイメージで捉えるタイプの方とお見受けします。

　いろんな捉え方があるとは思いますが、社会に出て大学で数学やりました、といえるためには最低線、基礎中の基礎。ピアノでいうならバイエルです。
　まずは抽象的思考の基礎訓練と割り切って、１年生は１＋１から練習をするのが良い。のちに難しい問題に対処するときにありがたみが分かってくる。数学って「直感で捕まえられなくなると話が分からなくなってしまう」というような我流では絶対到達できない深い世界なんですよ、きっと。だから公理論的に理論が組み立てられて、新しい概念が積み重ねられていく、そいういう理論構築過程をつぶさに追跡できる絶好の機会でもあります。

・まずは単に、連立方程式をベクトルと行列で扱うと便利です。解析幾何学と関連づけて解釈するととくに理解しやすいと思います。一般逆行列の問題は面白いし、実用上も逆問題に関連して非常に重要です。工学で有限要素法をやったり、複雑な曲面を設計する問題では、行列が無かったら手も足も出ません。
・行列式の本性は外積です。これも幾何学的な意味を捉えてみてはいかがかと思います。
・固有値、固有ベクトル、基底と独立性、は問題をスペクトル分解することで、基底の選び方の問題であり、力学や因子分析の基本的演算です。線形代数はすぐに関数空間に話を広げることになると思います。すなわち直交関数系という基底に繋がっていきます。応用数学では不可欠ですね。線形空間のフーリエ解析も、超関数論も、ソボレフ空間も、ヒルベルト空間も、演算子法も、Lee代数も....
・組み合わせ数学におけるグラフ理論との関連は、グラフを行列で抽象的に扱う訓練と考えてはどうかな。これも幾何学ですね。コンピュータに掛けるためにはこれが出来なくちゃ話になりませんし、neural networkでも基本的表現。
・線形代数が線形空間論に広がると、今度は位相の問題が重要になってきます。ルベーグ積分も、位相幾何学もその延長上にある。コホモロジーなんて言っても、究極の所は代数の構造に話が戻ってきます。

　抽象代数のバイエル。一方、イメージを押さえたければ、ユークリッド空間の幾何学や、電磁気学などの応用分野と一緒に勉強してみるのも面白い。アドバイスとしては座学に頼らず、少しづつ応用してみながら学ぶことをお勧めします。またExcelなどを使ってある程度の規模の問題を扱ってみるのも重要だと思います。

　是非、補足を付けて、問題のポイントをもう少し絞って具体化していただけませんか。
常連回答者には数学の専門家や大学教授もいらっしゃいますから、話がクリアになれば、もう堪忍してと言いたくなるほどの回答が来るかも。

補足

stomachmanさん、早速の回答ありがとうございます。
どのようなところにつながるか、というのは、
まだ私がやっているのは基礎でしょうから、先が見えない、
という感じがあります。

では、もうちょっと質問を絞ってみます。
今の高校数学(理系)では主に行列を「連立方程式を解く手段」
として扱っていますが、なぜわざわざ行列にしたのでしょうか。
大学では最初のうち、「連立方程式」と「ベクトル」を
行列、として表現する方法、およびそれに関する解法などを学びました。
わざわざ「行列」として表現することの「メリット」を教えてください。
…stomachmanさんが回答している、と言う部分もあるかと思いますが。

それから、これは基本的なことなのかもしれないのですが、
線形代数(空間)＝行列　なのでしょうか？
違うとすれば、それはなんですか？