確率を複素数の概念で考える数学はありますか

質問

量子力学には複素数が不可欠のようですが、普通の推計学でも複素数の概念で確率のことがよくわかるような例はないのでしょうか。

回答No.1

arrysthmia · ベストアンサー

量子力学の確率論的解釈で、粒子の存在確率密度を表すのは、
波動関数 φ ではなく、その絶対値の二乗 |φ|^2 です。
φ は、複素関数ですが、|φ|^2 の値は、常に実数です。

「確率」という言葉は、極大雑把に言えば、
値が０から１の範囲の実数になる積分を表す名前ですから、
確率を複素数値に拡張して考えることは、要するに、
積分一般いついて考えていることになります。
話が、やや漠然とし過ぎるようです。

お礼

ご教示ありがとうございます。起こるか起らないかわからない状態を複素数で考えるというようなことが数学的にできるのかと思いました。

回答No.2

zk43

確率論の分野で複素数が出てくるものといえば、「特性関数」があります。
これは、確率変数Xに対してe^itXの期待値を考え、実数tの複素関数
と考えるものです。
e^tXの期待値を考え、実数tの実関数としての積率母関数があります
が、これは限られた範囲でのtでしか存在しない場合や、存在しない
場合もあるのに対して、特性関数は常に存在するので、取り扱いやすい
という面があります。
特性関数が一致する確率変数は同一の確率分布に従うことや、モーメン
トを計算することなどに使われます。
入門的な確率論の本では、参考程度に書かれていることが多いようです。
通常の、二項分布や正規分布などを考えている範囲では特性関数を
持ちだすまでもなく話が進むようなので、もう少しアドバンストな
方に行った場合に必要になるのではないかと思われます。

お礼

ご教示ありがとうございます。物事を決定的にならないようにしている要因がある場合を複素数に対応させるようなことはできないのかなと思いました。初歩から勉強いたします。ご教示ありがとうございました。