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波動関数と複素数
量子力学初心者です。 いろいろ本を読んでみたのですが、波動関数を複素数で表すのは単に便利であるとか、オイラーの式とか、二乗すれば確率となる…など数学的には分かりますが、波動関数を複素数で表す直感的で本質的な理由はあるのでしょうか？ また、電子などが粒子性と波動性を持つことと、波動関数が複素数であることは関係しているのでしょうか？ 最後に電気・電子回路でも複素数を用いますが、単に便利さのためでしょうか？ よろしくお願い致します。
- chuuchuu07
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- 物理学
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ディラックの教科書では次のような説明がされています。 量子力学では、波動関数の振幅を変えても状態としては同じものと見なされます。そうすると、2つの状態|A>と|B>を重ね合わせた状態|R> = c1|A> + c2|B> は、c1、c2が実数だと、自由度は1つしかなくなります（c1とc2の比で状態が決まります）。c1とc2が複素数だと、自由度は2つとなります（|A>、|B>の振幅の比の自由度と、位相の自由度）。このような訳で、波動関数は複素数である必要があるそうです。 物質の粒子性と波動性を説明する基本原理は重ね合わせの原理であり、それを記述するためには、複素数を使うことが必要だと考えられます。
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直感的な理由は残念ながらありません。 なぜなら、複素数の絶対値の2乗なら観測できるが、複素数(虚数)そのものを反映する観測結果は得られないからです。 複素数の絶対値の2乗を観測できると言うのは、電子波の干渉のことです。外村さんの実験をご存知でしょうか.... 電子波(ドブロイ波)の干渉の結果によるスクリーン上の明暗には、 どこにも虚数を意味する実験結果などありません。 量子力学で虚数が現れるのは、そうしないとつじつまが合わないというだけです。1/c^2(∂^2u/∂t^2)=∂^2u/∂x^2という通常の、つまり 実数の波動方程式だと、粒子のエネルギーをE=hν=p^2/2m, 運動量p=h/λという、粒子の波動性と粒子性、双方を満たすような条件にしたときに式が満たされないからです。 E=hν=p^2/2m,p=h/λという式が正しいであろうことは、それ以前から 言われていたから、それらは満たされていなければならず、 そうして矛盾なく完成された波動方程式にih∂Ψ/∂t=HΨというように 時間に関して一階微分の拡散型になり、さらに虚数iが含まれていたというだけの話です。h=hバーです。 なお、電気回路における虚数は、完全な便法です。 sinやcosで電流や電圧を表すより、e^jωｔとした方が微分ごとに 形が変わらなくてすむということ、 初めに電圧をcos(sin)とすれば計算の最後に、電圧として実数部(虚数部)を取れば、途中の計算は全てe^jωｔでやってしまってよいからです。何故なら、複素数の実数部と虚数部は、全く関係なく分離されて計算できるからです。電圧をcosωｔとしましょうか... tについて二回微分すれば、V"(t)=-ω^2cosωｔです。 では、e^jωｔをtについて二回微分して、最後に実数部を取ります。 d^2/dt^2(e^jωｔ)=d^2/dt^2(cosωｔ＋jsinωｔ) =-ω^2cosωｔ-jsinωｔですから、 Res[d^2/dt^2(e^jωｔ)]=-ω^2cosωｔですよね。つまり、 オイラーの公式により、実数部と虚数部は独立して微分できるから、 電圧としてcosをとれば実数部にのみ注目すれば良いし、 sinなら虚数部のみ見ればいいのです。それで、もちろん実際の計算では初めからe^jωｔをわざわざオイラーの公式で分解する必要などなく、 e^jωｔの微分をやっていればいいのです。最後に実数部か虚数部を取ればいいだけです。
- toranekosan222
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ただ混乱させることをいうかもしれませんが。 一度ハイゼンベルグの行列力学を見てみるといいと思います。 そこで、フーリェ級数が出てきますが… あとは虚数とはcosとsinの位相差と関係していて icos(x)=exp(pi/2){exp(ix)+exp(-ix)}/2=sinx という関係とも関係が無いとはいえなそうですね。 波の振幅と位相を考えてみるといいかもしれませんね。 波動関数を二乗すると、位相は外から見えません。 波動関数を微分すると、位相が外から見えてきます。 位相というのが不確定性定理のあれと…
- 991108
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No.1の回答が最もらしいです。 量子論の基本に気になるのでしたら、 「新版量子論の基礎」清水明（サイエンス社） を読んでみると良いと思います。 まあ僕らのようなプロは量子論の出発点の公理 の１つとして鵜呑みにしてるのであまり問題 のような気がしませんが。ただ単に、そうする と物理現象の説明が大体つくという理由で十分 だと思ってしまっています。基本的に物理の 方程式が成り立つ理由なんてそんなにはっきり した理由なんてありませんよ。それは相対論 もしかりです。用は自然界を記述するための モデルなんです。
私も、量子力学初心者です。私は逆に、複素数で表すことをなるほどなぁと納得がいきました。それは、世界は目に見えるものと見えないもので成り立っていると思うからです。有限なものと無限なもの、限定されたものと限定されないもの、現実性と可能性・・・と、対立するもので世界は作られている、あるいは、そう人は認識するのだと思います。 電子の粒子性は実、波動性は虚と思います。これらをあわせもっている電子を複素数で表現するのは合理的と考えます。
お礼
お返事遅れて申し訳ありません。 量子力学には哲学的な考え方もひつようだと感じました。 ありがとうございました。
- rangeru
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まず、 ＞電気・電子回路でも複素数を用いますが、単に便利さのためでしょうか？ というのはその通りです。ただし、量子力学の場合は「便利だから」という理由で複素数が使われているわけではありません。 ＞波動関数を複素数で表す直感的で本質的な理由はあるのでしょうか？ 直感的で本質的な理由はないと思います。波動関数を複素数で表す理由としては、量子力学の公理をつくるときに、物理量（可観測量）とは複素内積空間（ヒルベルト空間）上の自己共役演算子によって表される、とするからというのが最も一般的な表現です。 ところで、よく量子力学の本などにも書いてあるのですが、複素数を使うのってそんなに不思議なのでしょうか。実数よりも複素数のほうが一般的なので複素数で表現するほうがかえって自然なことだと私は思います。最終的に実数になればいいわけですし。
お礼
お返事遅れて申し訳ありません。 自由度という考え方からの説明はとても参考になりました。 ありがとうございました。