量子力学◆実現確率◆統計力学

質問

量子力学と統計力学の実現確率について質問します。

量子力学的な統計力学における、正準分布(カノニカル分布)の場合の、体系がエネルギーEjの微視的状態をとる確率はPj=e^-βEj/Σie^-βEiで
与えられると思いますが、
エネルギー固有関数φnで展開した場合の量子力学の状態Ψ=Σn<φn｜Ψ>φnで、j状態が実現する確率は、
｜<φj｜Ψ>｜^2≡｜cj｜^2で与えられます。この二つの
実現確率は同じものか違うのかがよく分かりません。

回答No.2

atomicmolecule · ベストアンサー

二つの確立は異なるものです。統計確立P(E)=exp(-βE)/Z　と量子力学の確立|c(j)|^2はまっとく次元がことなる概念です。最初に習うのは量子統計は（量子力学的）純粋状態のアンサンブル統計の理論です。

つまり量子力学的な状態は純粋状態φ(n)を考えて物理量は量子力学の期待値<A>=<φ(n)|A|φ(n)> を考えます。さてここで量子力学状態φ(n)だけではなく熱揺らぎのためにφ(ｍ)なんかの場合もあると言う状況を考え、そのときのm状態である確立をボルツマン因子
exp(-βE(m))/Zで平均操作を導入したものが

Aの量子統計期待値≡ Σ_m exp(-βE(m))<m|A|m>/Z

です。

量子力学的確立は密度行列を使って導入され

Ａの量子期待値（混合状態）
＝Σ_m exp(-βE(m))<m|A×ρ|m>/Z

と定義されます。ρ=|Ψ><Ψ|　の場合には<m|Ψ>=c(m)とすると

Ａの量子期待値（混合状態）
=Σ_{mn} exp(-βE(m))<m|A|n>c(n)c(m)^*
となり、ここで現れるc(n)c(m)^*がfrozenbreakさんの気にしている量子力学的確立です。しかしもっと一般化されていて、ｍ、ｎという二つの状態の干渉項も入ってきます。　密度行列で調べてみてください。

お礼

丁寧な御回答ありがとうございます。

ということは、この場合の物理量とは純粋状態φnの平均<φn｜A｜φn>
があらかじめ前提だった、その上で統計力学的な
確率e^-βEn/Zでその物理量が実現するということなんですよね？＜＜熱揺らぎのためにφ(ｍ)なんかの場合もあると言う状況を考え
逆に言うと熱揺らぎがないなら、常に同じエネルギー
固有状態が実現されているという意味ですよね。

密度行列については、計算してみたところ
Σ(m)<m|A×ρ|m>=Σ(m)<m｜A|Ψ><Ψ|m>
=Σ(m)<m｜A｜Ψ>c(m)*=Σ(m)c(m)*<m｜AΣ(n)<n｜Ψ>｜n>
=Σ(n)Σ(m)c(m)*c(n)<m｜A｜n>となり、atomicmoleculeさんのご提示された式との一致を見ました。
密度行列については今後勉強したいと思います。
参考になりました、ありがとうございました。

回答No.1

metzner

統計力学的確率と量子論的確率は違う意味です。量子力学では熱が入らない状態から既に確率論的です。量子統計力学は2重統計性を持っています。

お礼

御回答ありがとうございました。
２重統計性ですか。言葉は聞いたことがあったのですが、こういうことだったのですね。