絶対値の増減表

質問

｜x^3 - 3x｜の増減表の書き方がいまいちわかりません。解答を見ても答えだけが載っているだけで詳しい解説がないので投稿させていただきました。よろしくお願いいたします。

回答No.1

R_Earl · ベストアンサー

> ｜x^3 - 3x｜の増減表の書き方がいまいちわかりません。

質問者さん自身どうやって解いてみて、何が分からなかったのかを書いて下さい。
そうしないと適切なアドバイスができませんし、質問自体が削除されます。

絶対値記号がついている場合は、絶対値記号の中身の正負で場合分けします。
それから、関数の式の形が変わるポイントに着目します。
注意するのはそれだけで、あとはいつも通り微分して書きます。

y = ｜x^3 - 3x｜とおきます。
このままでは考え辛いので、絶対値記号を外します。

y = x^3 - 3x　(0 ≦ x^3 - 3xの時、すなわち? ≦ x ≦ ?, ? ≦xの時)
y = -(x^3 - 3x)　(x^3 - 3x < 0の時、すなわちx < ?, ? < x < ?の時)

後は微分して

y' = 3x^2 - 3　(0 ≦ x^3 - 3xの時、すなわち? ≦ x ≦ ?, ? ≦xの時)
y' = -(3x^2 - 3)　(x^3 - 3x < 0の時、すなわちx < ?, ? < x < ?の時)

として増減表を書いてみましょう。

先ほど述べたように、増減表を書く時には『関数の式の形が変わるポイント』に注意して下さい。
例えば、x = -√3のポイントです。
増減表を書く際にそういったポイントに出くわしたら、
いったんそこで区切ってしまうのが良いと思います。

何かご不明な点等がありましたら、補足欄に書いて下さい。

補足

丁寧な解答ありがとうございます。一度やってみたのですがやはりわからなくて
申し訳ないです。
y = x^3 - 3x　(0 ≦ x^3 - 3xの時、すなわち? ≦ x ≦ ?, ? ≦xの時)
y = -(x^3 - 3x)　(x^3 - 3x < 0の時、すなわちx < ?, ? < x < ?の時)
ここの部分の範囲がわからないのですが、また、関数の式の形が変わるポイントというのはy’の符号が変わるときでしょうか。そういうのはどのように見つけたらいいのでしょうか。

回答No.2

R_Earl

> y = x^3 - 3x　(0 ≦ x^3 - 3xの時、すなわち? ≦ x ≦ ?, ? ≦xの時)
> y = -(x^3 - 3x)　(x^3 - 3x < 0の時、すなわちx < ?, ? < x < ?の時)
> ここの部分の範囲がわからないのですが、

n次不等式を解く時にはグラフで考えます。
0 ≦ x^3 - 3xとなるxの範囲を知りたかったらy = x^3 - 3xとおき、
不等式を0 ≦ y = x^3 - 3xと考えます。
つまり、『曲線y = x^3 - 3xのy座標が0以上になっている部分』が
求めたいxの範囲となります。

xの範囲を求めたい場合、重要になってくるのは
「いつy座標が0以上になり始めるのか(始まり)」
「いつy座標が0以上でなくなるのか(終わり)」
という点です。つまり境界線ですね。
y座標が0以上になっている部分の境界線のx座標が分かれば、求めたいxの範囲も分かりますよね。
肝心の境界線の座標の求め方ですが、「y座標が0以上になるか0未満になるかの境界線」なので、
境界線自身のy座標は0です(つまり境界線はx切片)。
なので曲線の式y = x^3 - 3xにy = 0を代入し、方程式を解けば境界線のx座標が出てきます。

0 = x^3 - 3x
0 = x(x^2 - 3)
0 = x(x + √3)(x - √3)
∴ x = 0, ±√3

よって境界線のx座標は0, +√3, -√3の3つです。
この3つの値が?に入ります。
どういう順番で入るのかは、y = x^3 - 3xのグラフの形から判断できます。

> また、関数の式の形が変わるポイントというのはy’の符号が変わるときでしょうか。

関数が
y = x^3 - 3x　⇔　y = -(x^3 - 3x)
と変わってしまうポイントのことです。

『y'の符号が変わる → 関数の形が変わる』とは限りません。
y'の符号が変わっても関数の形が変わらないという事はよくあります(この問題では)。

元の式は| x^3 - 3x |なので、
『絶対値記号の中身(x^3 - 3x)の符号が変われば、関数の形が変わる』となります。

お礼

丁寧な解説ありがとうございました。
グラフの書き方がわかってきました。絶対値のない関数のグラフは書けるのですが絶対値が入ってくると混乱してしまいます。勉強しなおします。