楕円の変形

質問

先の　QNo.752549 「回転操作と伸縮操作２」 で少し触れられていますが、この関係に類する件です。

　長径ａ、短径ｂ、傾きθ（度：長径の軸線）を持った楕円があります。
　この楕円を、楕円中心を基点に、Ｘ方向でｘ倍、Ｙ方向でｙ倍したときの長径、短径、傾きの値を導く
　計算式はどのようになるのでしょうか？。

回答No.5

acacia7

あんまり深く考えず、
三平方の定理に従い、
長さの二乗はｘ＾２＋ｙ＾２ですから、
二乗和をガンマで微分。
その値が０になるときが極値ですから、
短径のγか長径のγかどちらかです。

お礼

acacia7　様
　ご返事が遅れまして、申し訳ありませんでした。
　解決できました。

回答No.4

neKo_deux

No.1です。

嘘書いてました。
短径、長径、傾きは元の楕円と一致しませんが、引き伸ばした図形も楕円っぽいです。
(お絵かきツールでぐにぐにして確認しただけですが…。)

お礼

neKo_deux　様
　ありがとうございます。

回答No.3

acacia7

(a b/c d)は2*2の行列とします。

長径がa,短径がb，傾きθというだ円は
単位円に
A=(a 0/0 b)*(cosθ sinθ/-sinθ cosθ)
という一次変換を掛けたものです。

後段の変換は
B=(x 0/0 y)
という一時変換ですから，
出来上がった図形は
単位円にA*B=(a 0/0 b)*(cosθ sinθ/-sinθ cosθ)*(x 0/0 y)
という1次変換をしたものです。
単位円を１次変換したものは基本的にだ円です。

求めるべき図形上の点はベクトル(α,β)=
(cosγ,sinγ)*(a 0/0 b)*(cosθ sinθ/-sinθ cosθ)*(x 0/0 y)で表せ，
このベクトルの大きさが最長になるγをを求めます。

お礼

acacia7　様
　お答えありがとうございます。
　私も、(a 0/0 b)*(cosθ sinθ/-sinθ cosθ)*(x 0/0 y)
　ここまでの計算式には、たどり着いたのですがその先が
　わかりませんでした。お教示いただいています「最長になるγ」
　を求めるには、どのようにするかで固まってしまいました。
　出来ましたら、捕捉していただけないでしょうか。宜しく
　お願いいたします。

回答No.2

ranx

> Ｘ方向でｘ倍、Ｙ方向でｙ倍したときの

これはアフィン変換の一種です。
楕円にアフィン変換を行った結果はやはり楕円です。（円を含む。）

各変換を丹念に計算すれば、
Ax^2+Hhy+Bx^2=C
という形の式になるはずです。
一方、楕円を回転させた式も上記の形式になります。
係数を比較すれば各値は求められるはずです。

なるはずというだけで、私は計算していないので、自信なしです。
ご自身で計算してみて下さい。

お礼

ranx　様
　お答えありがとうございます。
　検証してみます。

回答No.1

neKo_deux

> Ｘ方向でｘ倍、Ｙ方向でｙ倍したときの

この操作により、元の楕円の長径、短径が直交しなくなります。この時点で図形は楕円でなくなりますから、傾きは定義できなくなってしまうように思います。

長径、短径それぞれの端点の位置や、外接する長方形を考えると分かりやすいかも。

お礼

neKo_deux 様

　お答えありがとうございます。
　しかし、楕円をＸ方向でｘ倍、Ｙ方向でｙ倍しても、
　楕円のままではないかと思いますが。