ＲＬ直列回路の電流ベクトルの軌跡について

質問

こんばんは！独学で電気回路を学んでいるものです。どうしても納得がいかないので質問しました。電源（位相０）Ｅ［Ｖ］抵抗Ｒ［Ω］インダクタＬ［Ｈ］を直列につないで回路に流れる電流をＩ［Ａ］（複素数）とし、wを変化させると、直交座標系(x:実軸　y:虚軸)でＩ［Ａ］は、第４象限でｘ＝Ｅ／２Ｒ、ｙ＝０を中心とする半径Ｅ／２Ｒの半円であると書いてあります。I = R/(R^2+w^2L^2)-j(wL/(R^2+w^2L^2))より求められると書いてありますが、さっぱり分かりません。上式よりwを変化させると先に示した半円になるのです。詳しい方、よろしくお願いします・・・。

回答No.1

reiman · ベストアンサー

式の書き方がおかしいので気をつけよう。
a/bcはac/bのことなのであなたの式においてはa/(bc)とカッコをつかなければなりません。
a/b+cはc+a/bのことなのであなたの式においてはa/(b+c)とカッコをつけなければなりません。
ぷんぷん。

I=E/(R+jwL)
より
I-E/(2R)=(E/(2R))(R-jwL)/(R+jwL)・・・(*)
両辺の絶対値をとると
|I-E/(2R)|=E/(2R)
これはwの値如何に関わらず
E/(2R)からIまでの距離が一定値E/(2R)であることを意味する。
よってwを変化させるとIは複素平面上の円上をとおる。

((円すべてを通ることを言いたければ))
R+jwL=√(R+w^2L^2)e^(jθ)
と置くと複素共役をとると
R-jwL=√(R+w^2L^2)e^(-jθ)
(なお、w:-∞→∞とするとθ:-π/2→π/2である。)
よって(*)式は
I=E/(2R)(1+e^(-j2θ))
2θの変動範囲は-π→πなので
w:-∞→∞とすると円上原点以外全て通る。

回答No.3

ruto

このような問題はベクトルの逆図形と言います。
まず、インピーダンスZのベクトル図を書くと横軸にR、縦軸にωL、
ωを０～無限大に変化させたインピーダンスZの軌跡は横軸にRはなれ、縦軸に平行で上に延びていきます。（第1象限）
　この逆図形アドミンアタンスＹはＺが横軸となす角θなら、Ｙは横軸と－θとなり大きさは逆数となる。
　・この場合、逆図形は第4象限に現れる。
ベクトル軌跡の定理だったかな？　
　・直線の逆図形は円となる。この場合は下半分の半円。
　・円の逆図形は円となる（但し、原点を通らないこと）
　・原点を通る、円の逆図形は直線になる。
参考
　Ｚ＝Ｒ＋ｊωＬ　Ｙ＝1/（Ｒ＋ｊωＬ）
　電流Ｉは
　Ｉ＝Ｙ×Ｅ＝（Ｒ－ｊωＬ）／（R^2＋ωL^2）・E
　ｘ＝E・R／（R^2+ωL^2）、ｙ＝－E・ωL／（R^2＋ωL^2)
とおいて
　x^2＋y^2をもとめると
　（ｘ－E/2R)^2＋y^2＝（E/2R）^2　と円の式が求められる。
　ただしこの場合ωL＝0～∞なので下半分の円になる。

お礼

逆図形という概念は、初耳です。勉強になりました。ベクトルをxとyにわけて解析を行う手法は、自分でもやってみました。確かに矛盾無く導出ができます。しかし、円になると分かっていなければ、導出はできたでしょうか？そこが疑問なんです。まだ複素解析は、素人の域なので数学的センスが足りないのかもしれませんが・・・。

回答No.2

reiman

なお、
w:-∞→∞ではなくw:0→∞とすると
2θ:0→πとなるので下半円になることは分かるでしょう。

お礼

論理的かつ、的確な回答ありがとうございます。ベクトルの軌跡が円になるという仮定のもとに、話を進めると、矛盾無く解析が進むのですが、「仮定のもと」ということが納得いかず投稿しました。蛇足になるのですが、初めに軌跡というものを考えた人が円になると、どうして気づいたのでしょうか？、直感的に思ったのでしょうか？それとも実験で？わかりません・・・。