RL回路での回路方程式

質問

電源電圧がE、抵抗R、インダクタンスLのコイルが直列につながれてできた回路を考えます。
時間t=0のときに回路のスイッチを閉じ、その直後における過渡状態を回路方程式で表します。
するとE=Ri+Ldi/dtという一次線形微分方程式を立てることができます。
このとき左辺E=0とした時の式（同時方程式）0=Ri+Ldi/dtを解こうとすると、di/i=-Rdt/Lと変形できます。
するとln(i)=-Rt/L+C（Cは積分定数）となるという風に学びました。
しかし、なぜdi/i=-Rdt/Lをln(i)=-Rt/L+Cと変形できるのかわかりません。
ネットでいろいろ検索してみたものの、解説がなされていないため理解できていません。
どのようなことからこのような式変形がなされたのか解説を宜しくお願いします。

回答No.2

BOMBARDMENT · ベストアンサー

No.1です。補足させていただきます。

確かにこの微分方程式ではtが独立変数、iが従属変数となりますが、di,dtは単に各i,tの「微小量」として取り扱うことに支障はありません。ですから、積分は独立して取り扱っても間違いではありません。

積分の定義は座標空間における「求積」つまり面積や体積を求めることにあります。一例として、２次元デカルト座標系（x－y平面）における直角二等辺三角形の面積を積分により求める問題を考えてみましょう。

直角をはさむ辺の長さが１の直角二等辺三角形は、上記座標系において、斜辺は一次関数y＝xの一部をなし、従ってその面積Sは、

　S=∫ydx　（積分区間は０→１。解は1/2）

で与えられますが、これはx,yをそれぞれ独立として考え、当該三角形の面積を重積分で求めた場合でも同じ結果になります。１辺の長さ１の正方形の半分であると考え、

　S=(1/2)∫∫dxdy=1/2　（積分区間はxは０→１、yも０→１）

となり（この場合、１辺の長さ１の正方形の微分面積素片がdxdyとなります）、独立変数・従属変数の区別なく、正しい面積が求められることがわかります。x－y平面における「微分係数」が、従属変数の微小変化量Δyを独立変数の微小変化量Δxで除した値で求められることを考えれば、十分納得できることではないかと思われます。

お礼

ご解答ありがとうございます。
両辺それぞれ異なる変数において積分したものを等式でつないでもよいのですね。
それならばこの式変形の納得がいきます。
疑問が解決できました。ありがとうございました。

回答No.1

BOMBARDMENT

これは、高校２年か３年で習う積分公式

　∫dx/x=ln(x)+C (ln:自然対数、Cは積分定数）

によるものではないでしょうか。
　そして、右辺は時定数R/Lをtで積分して、

　ln(i)=Rt/L+C

となります。

お礼

ご解答ありがとうございます。
左辺と右辺で積分をする際の変数が、左辺ではi、右辺ではtのように異なりますがこれはいいのでしょうか？