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電気双極子が作る電場について。
電気双極子の静電場ポテンシャルの式は Φ = pcosθ/4πεr^2 で、電場を出すにはこの式を微分すればいいと思うのですが、手元の参考書だとまずr方向の電場の成分として Φr のように、偏微分しています。次にrに垂直な方向の電場の成分として -1/r・Φθ のように-1/rをかけて、θで偏微分しています。 質問なのですが、まず、「r方向の電場の成分」という言葉の意味が分かりません…。rというのは距離ですよね…？方向も何もないと思うのですが…。 また、その方向の垂直成分がなぜ上記のような式になるのかも分かりません。 よろしくお願いします。
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ポテンシャルを求めるために、まず座標を定めているかと思います。おそらくデカルト座標になれているでしょうから、よく用いられるxy座標系で表現してみます(簡単のため2次元で話を進めます)。 原点に分極ベクトルp→=(px,py)をもつ双極子が置かれており、その空間内の位置r→=(x,y)での電場ベクトルE→=(Ex,Ey)を求めよう、という話になっているのでしょう。 静電ポテンシャルの式における距離rは、位置ベクトルr→の大きさですから r=√(x^2+y^2) で求められる量です。同様に分極ベクトルの大きさpも p=√(px^2+py^2) で求められます。 ベクトルとその大きさを的確に区別することは物理の計算における基本技能です。今回の質問はそこにさらに座標変換の話が加わっていることになります。
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- maru-tu
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極座標表示です。通常よく用いられるxyデカルト座標系ではなく、rθ極座標を用いて計算をするのです。 このr方向は「半径(動径)方向」とも呼ばれます。着目している点(位置ベクトルr→)における電場ベクトルE→のうち、r→方向に射影した成分、という意味ですね。 ここから先はベクトル解析をちゃんと考えた方が早いです。勾配(grad)を極座標でどう表示するのか、という話になります。下記ページなどを参照してみてください。
お礼
回答ありがとうございます。 うーん、、やはりちょっとよく分からないのですが、というか何か前提となる知識不足なのかもしれませんが考えると、位置ベクトルr→、というのが分からないような気がします…。 位置ベクトルr→というのは、方向はθ方向のベクトルということでしょうか？