質量ギャップって何ですか？

質問

手元のゲージ場量子論入門の本に「もしあるΔ>0に対して、Hが(0,Δ)の間にエネルギー固有値、スペクトルをもたないとき、質量ギャップΔを持つという。」
と書かれてあるのですが、質量ギャップってどういうものなのでしょうか？
質量に禁制帯のようなものが出来るということなのでしょうか？
そのメカニズムなどについてどなたかわかりやすく教えて下さい。

回答No.3

siegmund · ベストアンサー

siegmund です．

> E = (hbar^2) k^2/2M
> E^2 = m^2 c^4 + p^2 c^2
> の２つの式がEを通してイコールで結ばれるということなのでしょうか？
> そして、すると普通の質量と質量ギャップが方程式で結ばれるということなのでしょうか？

いやいや，そうじゃなくて，
E = (hbar^2) k^2/2M は無限空間の自由粒子(非相対論的)のスペクトル，
E^2 = m^2 c^4 + p^2 c^2 は無限空間の自由粒子(特殊相対論的)のスペクトル，
で，両者は違う話です．
イコールにしちゃっちゃいけません．

回答No.2

siegmund

例えば，無限空間の質量 M の自由粒子の場合，エネルギー固有値 E を波数 k であらわすと，
(hbar) = h/2πとして
(1)　　E = (hbar^2) k^2/2M
です．
(1)がスペクトルです．
m が離散的とか言う話ではありません．

なお，M は普通の質量の意味，m はNo.1で説明したギャップの意味です．
両者を混同しないようにしてください．

お礼

回答ありがとうございます。

ただ、やはりよく分かりません。

E = (hbar^2) k^2/2M
E^2 = m^2 c^4 + p^2 c^2
の２つの式がEを通してイコールで結ばれるということなのでしょうか？
そして、すると普通の質量と質量ギャップが方程式で結ばれるということなのでしょうか？

回答No.1

siegmund

ゲージ場量子論は専門じゃありませんが...

エネルギーの相対論的表現
(1)　　E^2 = m^2 c^4 + p^2 c^2
から来ています．
E はエネルギー，m は質量，c は光速，p は運動量．
m≠0 なら p=0 でも E がゼロではないわけで，
横軸 p ，縦軸 E でグラフを書くと，曲線は p=0 で mc^2 のところから始まります．
したがって，mc^2 がギャップです．
質量に由来するのでこれを質量ギャップ(mass gap)といいます．
しばしば c=1 という単位系を使いますので，
ギャップそのもののことを質量と言ったりします．

これを拡張して，E と p (あるいは他の適当な量)の関係に上と同様な事情があるときに
質量ギャップがあると言います．
質問の場合のΔが上の mc^2 に相当するわけです．

> 質量に禁制帯のようなものが出来るということなのでしょうか？
質量に禁制帯ができるのではなくて，エネルギーに禁制帯ができるのです．

(1)で光の場合は m=0 ですから E=pc のよく知られた式になります．
こういう場合を質量ギャップがない(あるいは単に，質量がない，massless)と呼びます．
massless の反対語は massive です．
massless のことを gapless と言い，massive のことを gapful あるいは gapped
ということもあります．
分野によって用語の微妙な好みがあるようです．

お礼

回答ありがとうございます。

ただ一つ気になったことがあります。
「エネルギー固有値、スペクトルをもたないとき」と書かれていたのですが、mが0か、0より大きいかによって、masslessかmassiveは決まるはずなのに、固有値、スペクトルとかが関係してくるというのはどういうことなのでしょうか？
mが離散的な値（量子化されたような値）になることなどがあるということなのでしょうか？