フーリエ余弦変換について

質問

f(t)=
1(0<=t<a)
1/2(t=a)
0(t>a)

という関数をフーリエ余弦変換したいのですが、私が計算すると値が０になってしまいます・・・。
私の計算式は、2/a∫(0->a)1*cos(kωt) dt (ω=2π/a)です。、ひとつ気になるのがt=aの時のf(t)で、1/2ではあるもののどう計算に入れたらいいか検討がつかず、抜いてしまいました。

どうしたら解けるのでしょうか・・・アドバイスをお願いします。

回答No.3

info22 · ベストアンサー

#1です。
補足質問の回答
＞どちらも書き間違いはないようです、このような関数はありえないのでしょうか？
＞問題自体が間違っているということでしょうか・・

質問の言葉どおり、フーリエ余弦変換（フーリエ積分の一種）を求める問題であるなら、参考URLにある定義式を使って積分します。

フーリエ級数展開は周期関数の展開ですが、フーリエ余弦変換だと孤立
波の[0,∞]の積分になります。
つまり、あなたの解答はまったく的はずれという事になります。

参考URLのFc(ω)の変換式を使います。
Fc(ω)=∫(0→∞)f(t)cos(ωt)dt
=∫(0→a)cos(ωt)dt
=sin(aω)/ω
と成ります。

参考URL：

http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/diffpub/node82.html

回答No.4

hitokotonusi

マイナス側がどうなってるのか気になりますが、0だとして普通に積分すれば

∫(0->a)1*cos(kωt) dt ＝ [sin(kωt)/kω](0->a)=sin(kωa)/kω
= a sin(kωa)/kωa = a sinc(kωa)

ですね。フーリエ係数じゃないので、積分前の2/aは不要でしょう。
kは実数なので0にはなりません。

マイナス側が対称なら2a sinc(kωa)

>1/2(t=a)

は私もわかりません。測度が0なら積分には影響しないような・・・・

回答No.2

Sin0

これはt>aでも定義されている関数なので周期関数から一般の関数（つまり周期が0<X<∞）に拡張したフーリエ積分をしなければなりません。
なので-∞<X<∞に偶関数で拡張するということです。

おそらくフーリエ余弦変換をフーリエ余弦級数と勘違いしておられるのでは？
またフーリエ級数・積分はは区分的に連続であればであれば表せます。不連続点でも左側極限と右側極限の和の1/2となるのでこの場合のt=aでそれを満たしているので、問題はありません。

OKですか？教科書を見直すといいと思います。

回答No.1

info22

f(t)の関数の定義と周期のどちらかが間違っていると思います。
それを正していただかないと他の質問の回答ができません。

補足

回答どうもありがとうございます！
どちらも書き間違いはないようです、このような関数はありえないのでしょうか？問題自体が間違っているということでしょうか・・・
解けるという形はどのような関数の定義、周期になるのでしょうか