複素数の「二直線のなす角」について

質問

（γーα）/（βーα）＝ｋ（cosシータ＋i・sinシータ）・・・(1)
＜ＢＡＣ＝arg（γーα）/（βーα）・・・(2)

教科書には(1)となるから(2)がいえると書いてあるのですが、なぜ(2)にできるのかがわかりません。
(1)まではなんとか理解できました。

ご存知の方教えて下さい。
お願いしますm（__）m

回答No.6

composer · ベストアンサー

複素数がなんのためにあるのか考えたことありますか？
なぜ高校で複素数を教えるかというと、それを知ってると便利なことがあるからです。（もちろん日常生活で役立てることは少ないですが）
では複素数を知っているとどういうふうに便利なんでしょうか？
例えば、平面上に点があるとします。あなたは、誰か他の人に、その点の場所を知らせたい。どうすれば相手にうまく伝えられるでしょうか？
考えられる方法として、X-Y平面を定めて、その点を（３．７）や（２．６）のように座標であらわす方法がありますね。
もしくは人によってはベクトルで表そうとするかもしれません。（ベクトルとは大きさと方向を表すものだから。）
極座標を使ってもできます。
もしくは、「西に１００メートル」なんてのも日本語を使った位置の表し方といえます。
そう言った数多の表し方の一つに複素数を使ったものがあるのです。
つまり、俗に言う「複素数平面」を使ったやり方ですね。
感覚的にはX-Y平面と似ています（多分すでに授業でやってると思いますから細かい説明は省きますが）X軸を「実軸」Y軸を「虚軸」とおき３＋５i、《これはX-Y平面で言う（３．５）と同じ位置を表してます》のように位置を表す方法です。
つまり、複素数平面では、複素数はある地点からの距離、方向を表していると言えます。多分stripeさんはここでの複素数の扱いをただの「足し算」「引き算」のような「式」として認識してたのではないですか？だから「どうして足し算や分数が角度を表すんだ？」ってかんじになってたんだと思います。もしそうであるなら、この機会に数学に関して自分がもってるイメージ（固定観念、先入観）をもういちど見なおしてみてはどうでしょうか？「なぜ今これを勉強してるんだろう」とか、数学に限らず学校で教わることの真意を考えてみると（授業ではほとんど、表面的なことや方法論のみしか教えてくれないと思いますが）、きっと勉強が楽しく（まではいかないか？）なると思いますよ！

お礼

詳しくありがとうございます。
複素数っていうと２乗してーになるってな感じのイメージしかなかったです。
やはり意味などを考えていくと理解も深まるしよいかもしれませんね。
大変ですけどがんばってイメージしていきたいと思います。

ちょっと気になったのですが、経験者さんって事は学校の先生さんってことでしょうか？
うちのがッこの先生はパソコンオンチなのでパソコンに向かっている姿は想像できん(笑)

どうもありがとうございました！

回答No.5

noname#24477

＃３の補足
２つの複素数の作る角は
∠Ｂ’ＯＣ’＝∠Ｂ’ＯＸ－∠Ａ’ＯＸ　　　（Ｘはｘ軸方向）
のように引き算で考えられますから複素数の割算のargで考えられます。

ただどちらの角が大きいか考えておかないとプラスマイナスが反対に
出てくるでしょうね。

お礼

なんとなくわかってきました。

ありがとうございました^^

回答No.4

mcurry

問題の解き方は、前の回答者のようにやってください。
複素数平面の補足をします
複素数平面上の一点は「極座標」を用いると
→
r=r(cosα＋isinα）=r・exp(iα)
の用にあらわすことができます。
(exp()はexponentialです。e^(iα)とも書きます。見やすいのでこっちでかきます)
ここで、rは動径方向 αは角度です。

高校数学では、x,y,zのカーテシアン座標（デカルト座標）
上記の極座標しか、扱いませんが
座標の種類にはいろいろなものがあります。
（たとへば放物線座標・・・・など）
いろんな座標があるけれど、それらに共通することは
平面上の任意の点を表すことができるということです。
（原点付近でも、原点から∞はなれている点でも）

極座標の場合、ｒを大きくすることで、より遠くの点をあらわし、
αを増やすことで方向が変わります。これで、平面上全ての点をあらわせるのです。

→
ｒを９０度回転させるには角度を９０増やせばいいので
→
r=r(cos(α+90)＋isin(α+90)）=r・exp(i(α+90))

=r・exp(iα)・exp(i90)

→
=ｒ・exp(i90)

つまり、複素数平面上で、βだけ回転させたいときは
exp(iβ)をかければいいということになります。
exp(iβ)で割ることは、exp(-iβ)をかけることになるので
-βの回転になります。

>なぜ複素数/複素数が角度を表せるのかがよくわからないのです

分母分子の複素数をexpの形であらわしてみてください。
角度の部分がはっきりするとおもいます

お礼

こんばんは。

極座標って初めて聞きました、
要するに極形式に直せばよいってことなのかな？

exponentialってのもまだやってないのですが、なんとなくわかりました。

参考になりました。
ありがとうございました^^

回答No.3

noname#24477

(cosα＋isinα）（cosβ＋isinβ）
を展開してください。
加法定理を使って
cos（α＋β）＋isin（α＋β）
になることを確認してください。
それからですね。

一般に　cosα＋isinα　をかけることは（原点中心として）αだけ回転するのと同じ
ことになります。
割算は掛け算の逆演算になりますから、角度の引き算になります。

お礼

ojamanboさん、orukaさん

ちょっとわかったっぽいんですけど、
(γーα)、(β－α)でγ・βを原点の周りに持っていって、
(γーα)はＯＣとX軸のなす角、(θ１)
(β－α)はＯＢとX軸のなす角、(θ２)
で
割り算は分子の角度から分母の角度を引くから
偏角はθ１－θ２で表せるってことでしょうか？
合ってるかな(^^；

補足

ありがとうございます。
＞になることを確認してください。
はわかりました。
＞一般に　cosα＋isinα　をかけることは（原点中心として）αだけ回転するのと同じ
ことになります。
割算は掛け算の逆演算になりますから、角度の引き算になります。
もわかったのですが、
それをどうやって(2)に応用するのかがわからないのですが・・。
もうちょっとバカでもわかるくらいに教えていただけますか？
ごめんなさい、よかったらまたお願いしますm(__)m

回答No.2

oruka

返事をよんでstripeさんの引っかかっているところがわかりました。
次のように考えてはいかがでしょう。
まず分母を払って（γーα）＝ｋ(βーα)（cosθ＋i・sinθ)とします。
右辺の(βーα)（cosθ＋i・sinθ)というのは(βーα)をθだけ回転させた複素数を表しますね。そのｋ倍(=実数倍)が(γーα)になっている、と読めるのです。従って(1)式は(2)式がいえるための必要十分条件というわけです。

お礼

どうもありがとうございます。
ごめんなさい、僕がひっかかっているのは、
(2)の式で、なぜ複素数/複素数が角度を表せるのかがよくわからないのです。

ぼくもよくわかってないのでうまく言えないのですが、なんとなくわかっていただけますでしょうか？

強引な説明ですが、よろしかったらまたアドバイスお願いしますｍ(__)ｍ

回答No.1

noname#24477

γ－α　の表す複素数はＡが原点になるように平行移動したときのＣの位置Ｃ’
β－α　も同じくＡが原点に来るようにしたときのＢの位置Ｂ’
arg（γーα）/（βーα）＝∠Ｂ’ＯＣ’＝∠ＢＡＣ

補足

ありがとうございます。
＞γーαがＣ´β－αがＢ´
まではわかったのですが、
どうしてarg（γーα）/（βーα）となるのかがよくわかりません（泣

少し補足説明していただけるでしょうか？
よろしくお願いしますm（__）m