力学的エネルギー保存則について

質問

授業で力学的エネルギー保存則を

m(x'')=F
両辺に(x')を乗じて、t=0~t(0) で積分
∫(0~t(0))m(x')(x'')dt = ∫(0~t(0))Fdt

計算省略

m/2(x'(to))^2 - m/2(x'(0))^2 = ∫(x(0)~x(t0))Fdx
※　右辺=∫(a~x(t0)) Fdx + ∫(x(0)~a) Fdx (aはx=aなる基準点)　
　　　　=∫(a~x(t0)) Fdx - ∫(a~x(0)) Fdx

∴m/2(x'(to))^2 -∫(a~t(0)) Fdx = m/2(x'(0))^2 - ∫(a~x(0)) Fdx
以上により力学的エネルギー保存則が成り立つと習ったんですが、※以下は

右辺=∫(t(0)~a) Fdx + ∫(a~x(0)) Fdx (aはx=aなる基準点)　
　　=∫(a~t(0)) Fdx - ∫(x(0)~a) Fdx

∴m/2(x'(to))^2 +∫(a~t(0)) Fdx = m/2(x'(0))^2 + ∫(a~x(0)) Fdx

の誤りではありませんか？私が勘違いしているのでしょうか？

PCで数式を書くのが初めてで幾分見にくいと思います。すいませんが、よろしくお願いします。

回答No.2

yokkun831

両辺第２項の符号が気になっているのですか？
Fdxは，本来F・dxで内積になります。たとえば，
最も簡単な一様重力による位置エネルギーを
考えてみてください。鉛直上向きを正にとって
　F=-mg　，　a=0，　x(0)=h
とおけば，U = -∫(0~h)(-mg)dx = mgh　と
期待通りの結果が得られますね？
　U = -∫(a～x)F・dx　の定義でよいのです。
力の方向と変位の方向に注意してください。

回答No.1

Meowth

x(t0)がt(0)になっていて何がなんだかわからないが

※以下は
∫(x(0)~x(t0))Fdx
=∫(x(0)~a) Fdx + ∫(a~x(t0)) Fdx (aはx=aなる基準点)　
　　=∫(a~x(t0)) Fdx ＋ ∫(x(0)~a) Fdx
でしょ。
m/2(x'(to))^2 - m/2(x'(0))^2 =∫(a~x(t0)) Fdx ＋ ∫(x(0)~a) Fdx

∴m/2(x'(to))^2 -∫(a~x(t0)) Fdx = m/2(x'(0))^2 - ∫(a~x(0)) Fdx

これは以上の前の式なおして、x(t0)にしたもの

∴m/2(x'(to))^2 -∫(a~x(t0)) Fdx = m/2(x'(0))^2 - ∫(a~x(0)) Fdx
そのもの。
なにがやりたいのかわからない