3次方程式について

質問

３次方程式（x＾3)-1＝０…(1)について以下の問いに答えるとき

〈ア）方程式(1)の虚数解の１つをωとするとき他の１つの虚数は？
〈イ）（ア）のωに対して2＋〔(ω)＾2/(1＋ω）〕＋〔ω/(1＋（ω＾2)
〕=？である。

わからないのでおねがいします

x^3-1=0　⇔　(x-1)(x^2+x+1)=0はわかるのですが。。。

回答No.8

itochanda · ベストアンサー

（ア）
ωの数値は計算しなくていいです。

ｘ^3－１＝0　…　式ａ
の虚数解をω、ω’（虚数）とするとき、
（ｘ－１）（ｘ^2＋ｘ＋１）＝０　の後者の解になる。

ｘ^2＋ｘ＋１＝０　の、解と係数の関係から、
（ｘ^1の係数）ω＋ω’＝－１　…　式ｂ
（ｘ^0、定数）ωω’　＝１　　…　式ｃ

式ｃの両辺にω^2を掛けると、
左辺＝ω^2・ωω’＝（ω^3）ω’＝１・ω’＝ω’
（ω^3＝１、なぜならそもそも式ａの解だから）
右辺＝ω^2

よって
ω’＝ω^2

もちろん式ｂを変形した
ω’＝－１－ω
も正解だとは思いますが。

回答No.7

itochanda

＞参考の公式によると
＞ω＾2＋ω＋１＝０
＞ω＾3=1
＞という公式があるそうですが

それでは順序が逆です。
＞x^3-1=0　⇔　(x-1)(x^2+x+1)=0　
この方程式の虚数解の１つをωとする、　これが定義です。

回答No.6

TK0318

(x-1)(x^2+x+1)=0からx=1かx^2+x+1=0です。ω=(-1士i√3)/2はx^2+x+1=0の方程式の解ですからω＾2＋ω＋１＝０になります。
またそもそもωはx＾3-1＝０→x^3=1の解ですからω^3=1になります。

回答No.5

itochanda

（ア）
x=(-1士i√3)/2　これはすぐわかりますよね。問題はこの２つの解の関係です。
片方をω、もう片方をω’と表記しますと（±があるので）
ω’＝－ω＋ほにゃらら　→（確定する）
　＝－ω－１
だと言えますね。（ω＋ω’を計算するのが早道かも）

ω^2＋ω＋１＝０　から　ω^2＝－ωー１なので、
ω’＝ω^2　といえます。

（イ）ｆ＝2＋〔(ω)＾2/(1＋ω）〕＋〔ω/(1＋（ω＾2)〕
ここでもω^2＝－ω－１を使用します。
ｆ＝２＋｛－（ω＋１）／（１＋ω）｝＋｛ω／（１－１－ω）｝
　＝２－１－１　＝０
まぁ、アができなくても、イは計算するだけですね。

補足

ωの問題を独学で勉強しているので流れのようなのが少しわかるような気がするのですが。
私がわかるのは
x=(-1士i√3)/2　とＸ＝１
です。
参考の公式によると
ω＾2＋ω＋１＝０
ω＾3=1
という公式があるそうですが
どうしてこのような式がでるのかわかもよくわかりません。
もし宜しければもう少し、レベルを落としたのでおしえてくれませんか？
わがままを言ってすいません。

回答No.4

hinebot

１の3乗根の問題ですね。

１の3乗根　＝　3乗すると１になる数

方程式　x^3- 1 = 0 は、変形するとx^3 = 1　ですから
この解は、まさに１の3乗根になります。

>x^3-1=0　⇔　(x-1)(x^2+x+1)=0はわかるのですが

そうですね。 このことから　x=1 or x^2+x+1=0 です。
x=1 は実数解なので、「虚数解の１つをω」としているのですから、ωは　2次方程式 x^2+x+1=0 の解です。
解の公式より、(-1士i√3)/2　とでます。
この±のどちらをωとおいても、もう一方はω^2になります。

さて、虚数解の１つをωとすると、ω^3 = 1 ですね。
もう一つの虚数解はω^2 になるのですが、１の3乗根ということで、こういう風に考えることもできます。

(ω^2)^3 = ω^6 =(ω^3)^2 = 1^2 = 1

つまり、ω^2 も「3乗すると１になる」ことが分かります。
まとめると、
「１の3乗根は虚数であるものの１つをωとすると
　１、ω、ω^2 の３つになる。
　また、ωとω^2 は共役な複素数でもある。」
となります。

念のためですが、#2さんの
>若しくはω^4+ω^2+1=(ω^2+1)^2-ω^2
>=（ω^2+ω+1）（ω^2-ω+1）=0
は、
x^2+x+1 のx にω^2 を代入して0になる、つまり、ω^2 も解であることを検証しています。

（イ）については、#2さんの通りなので、割愛します。

補足

ωの問題を独学で勉強しているので流れのようなのが少しわかるような気がするのですが。
私がわかるのは
x=(-1士i√3)/2　とＸ＝１
です。
参考の公式によると
ω＾2＋ω＋１＝０
ω＾3=1
という公式があるそうですが
どうしてこのような式がでるのかわかもよくわかりません。
もし宜しければもう少し、レベルを落としたのでおしえてくれませんか？
わがままを言ってすいません。

回答No.3

sanori

＃１です。
私もかぶります。（笑）

この場合は、ωの共役複素数は、ωの２乗になります、ということを書き忘れたので、今書こうと思ったのですが、＃２さんが、ほぼ当時進行で書かれたようです。

なぜωの２乗になるか？！？！？！

それはですね。
再び＃１に書いた、半径１の円を思い出してください。
この円周上にある点は、自分自身同士掛け算する（ｎ乗する）ごとに、円周上にとどまったまま、角度だけが加算されていくのです。
（半径１の円周上にとどまるのは、絶対値が１のもの同士の掛け算の答えの絶対値も１になるからです。）

１つ目の解は１　これの角度はゼロ。
２つ目の解は、仮にＡとしましょうか。　これの角度は１２０度。
３つ目の解は、仮にＢとしましょうか。　これの角度は２４０度。

さて、Ａの２乗を考えましょう。
１２０度と１２０度をかけたものは、角度の１２０度と１２０度を足し算すればよいのですから２４０度。→あれ？何かと同じになってませんか？

次に、Ｂの２乗を考えましょう。
２４０度と２４０度を足し算すると、４８０度。これは要するに１２０度と同じこと。→あれ？何かと同じになってませんか？

ですから、
ＡをωとしてＢをωの２乗としても、
ＢをωとしてＡをωの２乗としても、
どちらでも良いと言うことになるのです。

なお、これは２種類のωの２乗を普通に地道に計算しても、当然ですが、同じことが起こります。

２回答にわたって長々と書きましたが、覚えておいて損のない知識ですので、ぜひご活用ください。

補足

ωの問題を独学で勉強しているので流れのようなのが少しわかるような気がするのですが。
私がわかるのは
x=(-1士i√3)/2　とＸ＝１
です。
参考の公式によると
ω＾2＋ω＋１＝０
ω＾3=1
という公式があるそうですが
どうしてこのような式がでるのかわかもよくわかりません。
もし宜しければもう少し、レベルを落としたのでおしえてくれませんか？
わがままを言ってすいません。

回答No.2

mame594

これもかぶりましたが，折角ですので入れておきます．

＞x^3-1=0　⇔　(x-1)(x^2+x+1)=0はわかるのですが。。。
＜ア＞
ですからωはx^2+x+1=0　の根になり，
x=(-1士i√3)/2　ですから，ωともう一つの虚根がペアになります．
実は単位円の３分割などから一方をωとすればもう一方はω^2となることが分かります．
確かめるにはどちらをωにしても計算すればω^2が片方の根になります．
若しくはω^4+ω^2+1=(ω^2+1)^2-ω^2
　　　　　　　　　　　　　=（ω^2+ω+1）（ω^2-ω+1）=0
よりω^2も根であることが分かる．
＜イ＞
ω^2+ω+1=0　ですから　ω^2=-(1+ω)　　ω=-(1+ω^2)
よって，
2＋〔(ω)＾2/(1＋ω)〕＋〔ω/(1＋（ω＾2）)=2-1-1=0

回答No.1

sanori

これは知識のある人だと、すぐ答えが出てきます。
x^n-1=0にはｎ個の解がありますが、それらは、実は・・・、

ＸＹ座標系に半径１の円を描いて、その円周をｎ等分するように円周上に点を打っていけば（ただし、(1,0)には必ず点を打つ）、Ｘ軸を実数部分の軸、Ｙ軸を虚数部分の軸として、それらの点のＸＹ座標を読み取れって、その座標をx+iyの表記に変えれば、そのx+iy全てが、x^n-1=0 の解になるのです。

ですからｎ＝３であるこの問題の解は、図解的に
1 と -1/2+(√3)i/2 と -1/2-(√3)i/2
の３つであることが、知識のある人であれば、瞬時にわかります。

以上、長くなりましたが、前置きでした。
いよいよ本題になります。

（ア）
上の２つの虚数解を見比べると、一方はもう一方の居部の符号だけをひっくり返したものになります。
そのことを書けば、答えになります。
そのこととは、すなわち、「ω=a+biと置けば、もう一つの解はω=a-bi」。
また、この２つの虚数のことを、お互いに「共役複素数」と言います。
ですから、「ωの共役複素数」という日本語でも、答えになります。

知識としては、前記の長い前置きを知っていればよいですが、
x^2+x+1=0 を二次方程式の解の公式で解けば、同じことが起こります。

（イ）
ちょっと面倒くさいですが、計算するだけです。