座標値から半径を求めるには

質問

半径（R）の測定方法は?

3点から5点くらいの座標値を測定器で測定します。
測定した点を通ると仮定した円弧の半径を求める計算式はどうなるのでしょうか？

数学が苦手でさっぱりわかりません。
よろしくお願い致します。

回答No.4

ltx78

「円」ではなく「円弧」の半径を求める，といった点や
「座標値を測定器で測定」する，といった点が少々気にはなるのですが…．
とりあえず，問題は曲線の曲率半径ではなく円の半径を求めることである，とします．円でも円弧でも半径は同じですので．
また，測定器から得られるデータにはノイズは存在しない，としておきます．

2次元平面上で3点P1, P2, P3を測定し，その座標はそれぞれ(x1, y1), (x2, y2), (x3, y3)だった，とします．
半径を求めるためには，中心の座標が分からないとどうにもなりません．
そこで，とりあえず中心Rの座標を(x0, y0)とします．
で，P1, P2, P3はRを中心とする円上にあるので，
RとP1との距離，RとP2との距離，RとP3との距離は全て等しいはずで，しかもこれは円の半径です．
そこで，とりあえず半径をrとします．

これで材料はそろいました．
後は，連立方程式を解けばよいのです．
((x1 - x0)^2 + (y1 - y0)^2)^(1/2) = r
((x2 - x0)^2 + (y2 - y0)^2)^(1/2) = r
((x3 - x0)^2 + (y3 - y0)^2)^(1/2) = r

測定したのが4点以上の場合は，一般には解が「不能」になります．
つまり，「そんな円の中心と半径は求められません」ということです．

ただし，データにノイズが含まれ，ノイズの性質が既知である，という条件の下であれば，
「いちばんありそうな」解を求めることはできます．
このあたりの条件を考慮するためにわざわざ「測定器」と書いたのかな，と思ったのですが…どうなんでしょう？

回答No.3

noname#101087

下記の性質を使えば？
　　・平面上の二点 P1, P2 を通る円の中心は、線分 P1-P2 の中点を通り、かつ線分 P1-P2 に直交する直線上にある。
対象の点たちが同一円上にあれば、上記の直線群がすべて一点(円の中心)で交わると思います。

回答No.2

sanori

こんにちは。

私はやったことがないのですが、結構難しいんですよ。
http://sach1o.blog80.fc2.com/blog-entry-96.html

円の中心が与えられていれば、ｒの平均を求めるだけなので超簡単ですし、
また、３点だけを通る円弧・円周の半径を一意に求めることも、円の方程式に各座標を代入するだけなので簡単ですけどね。

回答No.1

noname#62466

5点は無理として（確実に円弧を通っているのなら任意の3点をとってもいいけど）
ｘｙを仮定しピタゴラスの定理で円になる条件で式を立てればいいです