漸化式と数列

質問

漸化式 f(k+1)=[{f(k)}^2]/16+3 , f(1)=10
で定まる数列で、
極限値αが存在するとして、αを求めると12,4
さらに、この数列が有界であることが示されたとすると、
減少数列であることを示すには、
f(k+1)＜f(k)が成り立つはずなので、
f(k)-[{f(k)}^2]/16-3＞0を解いて
4＜f(k)＜12が成り立つから
よって、f(k)は減少数列である、
で正しいでしょうか？

回答No.2

arrysthmia

4＜f(k)＜12 から f(k+1)＜f(k) を示しただけでは、
4＜f(k+1) が示されていないので、
数学的帰納法としては、不十分です。
この部分を補えば、「下有界な減少列は収束する」ことから
lim[k→∞] f(k) の存在が言えて、
目論見どおり、α=(α^2)/16+3 に持ち込むことができます。

お礼

ご回答有難うございます。
アドバイスを参考にもう少し考えてみることにします。

回答No.1

R_Earl

> さらに、この数列が有界であることが示されたとすると、

後の話から察するに、「4 < f(k) < 12が示せれば」、ということでしょうか？

> 減少数列であることを示すには、
> f(k+1)＜f(k)が成り立つはずなので、
> f(k)-[{f(k)}^2]/16-3＞0を解いて

ここでやっている計算は、f(k) - f(k+1) > 0となる
f(k)の値域を求めているということでしょうか？

> 4＜f(k)＜12が成り立つから
> よって、f(k)は減少数列である、
> で正しいでしょうか？

問題は無いと思います。

ただ、有界であることを示さなくても、
数学的帰納法を使えばf(k+1) < f(k)であることは示せるはずです。