漸化式に添え字がでる数列の解き方

質問

漸化式に添え字がでる数列（　S(ｎ)=Sn-1+n）の解き方を
教えてください。
母関数を使うやり方を試しています。

回答No.1

spring135 · ベストアンサー

S(ｎ)=S(n-1)+n

と解釈します。

S(ｎ)=S(n-1)+n

S(ｎ-1)=S(n-2)+n-1

......

S(2)=S(1)+1

以上を足し合わせて両辺で同じものを消し去って

S(n)=n+(n-1)+(n-2)+...+1+S(1)=n(n+1)/2+S(1)

お礼

回答ありがとうございます。
S(n)=S(n-1)+nという漸化式は
nについて閉じた式では
あらわされていません。
私は母関数を使って
数列の一般項を求めたいのです。
まず、数列に対応する母関数を得る
次に、その母関数を変形させて閉じた式を作る。
そして、その閉じた式を冪級数に展開して数列の一般項を発見する
という流れで教えて頂けないでしょうか。
ちなみにこの数列は無限です。

回答No.2

kabaokaba

はっきりいうと・・・何をいってるのか
さっぱりさっぱりなんですよ

まず
>漸化式に添え字がでる数列（　S(ｎ)=Sn-1+n）

これ自体が意味不明．
式そのものも，何が添え字なのかわからない
普通なら，
漸化式というなら
S(n)=S(n-1)+n
と解釈するでしょう？ちがう？

それから「漸化式に添え字がでてくる」って・・・
数列の漸化式なら添え字がでてくるのは当たり前です．
むしろ「添え字がでてくこない漸化式」って何ですか？

>母関数を使うやり方を試しています。
「試してる」というなら
どういう計算を試みたのか明記するのが
お互いのためでしょう？
よくいるのは「ちょっとわからない」というのを
実は「まったく考えてない」という意味で使う人．
文字だけのやりとりだから，そう思われても仕方がないでしょう？

しかもS(n)=S(n-1)+nだとすると，わざわざ母関数なんか
出さなくたって
これは一番基本の基本の階差数列なんだから
No.1さんの解法が王道です

ついでにいうと，示されている漸化式が
S(n)=S(n-1)+nであったとしても，そうでなかったとしても
いわゆる初期条件が不明だから
問題としては条件が不足ともいえて，
でてくる解は不定性がある

さらに補足・・
>S(n)=S(n-1)+nという漸化式は
>nについて閉じた式ではあらわされていません。

まったく意味がわからない．
「漸化式がnについて閉じてない」とは？

ついでにいうと，普通S(n)というと
別の数列a(n)があって
S(n)=a(1)+a(2)+・・・+a(n)
なんていう有限和であったりすることもよくあって
実は求めたいのはa(n)のほうだったりする？

補足にはほかにも「閉じた」「閉じた」ってありますけど
意味が通じません
もしかして「閉じた式」というのは
「初等関数や多項式の組み合わせで表される式」という意味？

>ちなみにこの数列は無限です
「漸化式をとく」という意味では
無限だろうと有限だろうと違いはありません

さてさて，オンライン計算だから不安満載だけど・・・
こんな感じかな・・・計算の正しさはわかりませんが
方針としてはこんなとこでしょう
母関数f(x)までもとめて後は展開することになります

f(x)=S(0)+S(1)x+・・・
= S(0)+(S(0)+1)x+・・・+(S(n-1)+n)x^n+・・・
= S(0)+S(0)x+・・・+S(n-1)x^n+・・・
　+ x+・・・+nx^n+・・・・
= S(0) + xf(x) + x(1+・・・+nx^{n-1}+・・・)
= S(0) + xf(x) + x/(1-x)^2

(1-x)f(x) = S(0) + x/(1-x)^2

f(x) = S(0)/(1-x) + x/(1-x)^3

＃あってんの，これ？

ちなみにいわゆる「指数型」の場合

f(x)=S(0)+S(1)x+(S(2)/2!)x^2+・・+(S(n)/n!)x^n+・・・
= S(0) + (S(0)+1)x +・・・+((S(n-1)+n)/n!)x^n+・・・
= S(0) + S(0)x + (S(1)/2!)x^2+・・・+(S(n-1)/n!)x^n+・・・
+ x + (2/2!)x^2 +・・・(n/n!)x^n+・・・・
= S(0) + F(x) + x(1+x+・・・+(1/(n-1)!)x^{n-1}+・・・)

ここで
F(x)=S(0)x + (S(1)/2!)x^2+・・・+(S(n-1)/n!)x^n+・・・
とおくと
F'(x)=f(x)，F(0)=0
つまり，
F'(x)=S(0)+F(x)+xe^x
これは線形一階だから，普通に計算できるはず
F'(x)=F(x)をとけばF(x)=Ae^{x} Aは定数
定数変化で
F'(x)=A'(x)e^{x}+F(x) = S(0)+F(x)+xe^{x}
A'(x)e^{x} = S(0)+xe^{x}
A'(x) = S(0)e^{-x} + x
A(x) = -S(0)e^{-x} + x^2/2 + C Cは定数

だから・・・
F(x)=(-S(0)e^{-x} + x^2/2 + C)e^{x}
=-S(0)+(x^2/2)e^{x} + Ce^{x}
F(0)=0だからC=S(0)
よって
F(x) = -S(0) +(x^2/2)e^{x} + S(0)e^{x}
f(x)= F'(x) = (x^2/2)e^{x} + x + S(0)e^{x}

・・・って・・・絶対どこかで計算間違ってるでしょう

お礼

回答ありがとうございます。
質問になれていない為上手く
質問できませんでした
これからは、あなたに言われたことを
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