無理数の漸化式と極限

質問

漸化式 f(1)=√3　, f(k+1)=√(3+f(k))から定まる数列{f(k)｝
において、
極限値αが存在するとして、αを求めろ、なのですが、
このような無理数の漸化式で極限を求める場合は、
一般項をどのように求めればいいのでしょうか？
両辺にlogをとって考えようとしているのですが、うまくいきません。
アドバイスを頂けないでしょうか？
お願いします。

回答No.2

take_5 · ベストアンサー

＞このような無理数の漸化式で極限を求める場合は、一般項をどのように求めればいいのでしょうか？

いつも一般項が求められるとは限らない。
そこで、先ず極限値を予想して、それと第n項との差を調べるという方法がある。
極限値を求めるには、与えられた漸化式でＡ（n+1）＝Ａ（n）＝αと置いてみて、それでαが定数として求まるなら、
n→∞の時、｜Ａ（n）－α｜→0を示すと良い。

別解としては、“単調有界な数列は収束する-この証明は高校数学の範囲外だが”ことから、数列{Ａ（n）}が収束する事を示しても良い。
この場合は、上で求めた定数αが、直ちに求める極限値に他ならない。

お礼

ご回答有難うございました。
いろいろ調べて、ようやく、
n→∞の時、｜Ａ（n）－α｜→0を示す
の意味がわかりました。
参考になりました。
有難うございました。

回答No.3

info22

質問のf(k)については、一般項は多重√が付いた項になり、すっきりした式で表すことができませんね。
こういう場合の収束値はグラフを使って図的に求める方法が分かりやすくていいでしょう。

[図的解法]
y=√(3+x)…(A)とy=x…(B)のグラフをx=0～3位の範囲で描いて下さい。
点の初期値a1(f(1),0)にとります。
a1を通る縦線と
x=x1=f(1)=√3のグラフと(A)との交点をa2(f(1),f(2))とします。
y=f(2)と（B)の交点(f(2),f(2))から縦線を引き、(B)との交点a3(f(2),f(3)をプロットします。
点a3から水平に線を引き（B)との交点(f(3),f(3))をプロットします。
これを繰り返して、点a4,a5,a6,…と繰り返していけばanは(A)と(B)の交点の((1+√13)/2,(1+√13)/2)に漸近していきくことが分かるかと思います。
つまり、f(n)の収束値は(1+√13)/2となるわけです。

お礼

ご回答有難うございました。
示して頂いた様なアプローチの仕方は、今まで考えもしませんでした。
大変勉強になります。
今後、大いに参考にさせて頂きたいと思います。
有難うございました。

回答No.1

kabaokaba

一般項が不明でも極限は分かるというだけ．

可測空間なんて勉強してるんだから
理系大学生でしょう？
大学受験ではこの手の問題は頻出です．
ヒント：「特性多項式」