ベストアンサー 数列{a_n}が収束する条件 2012/05/05 12:43 収束すれば、a_nはｎが無限大に近づくにつれて、0に近づきますが、その逆(a_n→０ (n→∞)をみたすa_nは収束する)というのはなりたつのでしょうか。 そうでなければ反例を教えてください。 みんなの回答 （1） 専門家の回答 質問者が選んだベストアンサー ベストアンサー myuki1232 ベストアンサー率57% (97/170) 2012/05/05 13:25 回答No.1 > 収束すれば、a_nはｎが無限大に近づくにつれて、0に近づきますが ここがまず違いますが、「0」を「ある有限な値」に置き換えれば成り立ちます。収束という用語の定義ですから、当然後者も成り立ちます。 質問者 お礼 2012/05/05 13:29 ごめんなさい 質問がちょっと間違えてました。 正しくは 「lim{n→∞}Σ{k=1~n}a_k が収束すれば a_nはｎが無限大に近づくにつれて、0に近づきますが」でした。 訂正して投稿しなおします。 申し訳ありませんでした 広告を見て全文表示する ログインすると、全ての回答が全文表示されます。 通報する ありがとう 0 カテゴリ 学問・教育数学・算数 関連するQ&A 数列の和が収束する条件 lim{n→∞}Σ{k=1~n}a_k が有限値に収束すれば a_nはｎが無限大に近づくにつれて0に近づきますが、a_n→０ （ｎ→∞）であれば必ずlim{n→∞}Σ{k=1~n}a_kは有限値に収束しますか？収束しないとしたら反例をお願いします・ （一度投稿したのですが、手違いがあったため再投稿です） 数列の収束条件 （似たような質問を昨日させてもらいましたが、違う質問です） 数列{a_n}がある有限値に収束するとして、a_(n+1)-a_n=d_nとしたとき、数列{d_n}は0に収束しますが、数列{d_n}が0に収束すれば、{a_n}はある有限値に収束すると結論付けてもいいのでしょうか？ 数Σ級na_nが収束するならΣa_nは収束することを示す。 級数Σ級na_nが収束するならΣa_nは収束することを示す問題で、行き詰っています！ 以下は、私が考えた証明です。 Σna_nが収束するならば、lim(na_n)=0 ⇔∀ε＞０に対して、適当な番号Ｎがあって、ｎ≧Ｎ⇒｜na_n｜＜ε ｜na_n｜=n｜a_n｜より、 ｎ≧Ｎ⇒｜a_n｜＜ε/n ∴lim(a_n)=0 ・・というところまで考えました。 その後、どうすればΣa_nも収束すると言えるのかがわかりません。 どなたか、お力を貸してください！ ・・というか、この証明自体、最初から間違っていたり、なんてことがあったりしますか？ 回答よろしくお願いします。 天文学のお話。日本ではどのように考えられていた？ OKWAVE コラム (a_n)^2の和が収束する時の(a_n)/nの和 Σ{n+1~∞}（(a_n)^2）が収束するときΣ{n+1~∞}((a_n)/n)が収束するかどうかという問題なんですが、まったく見当もつかず。。。ちょっとでもいいのでヒントをだしていただけませんか？ 数列が収束するかの証明問題 数列{a_n}{b_n}を写真のように定める。 （a_n,b_nはすべて正数とする） a_n,b_nが同じ値に収束することをしめしなさいという問題なのですが、 流れとしては、 1) a_n=b_nならば代入すれば、a_(n+1)=b_(n+1) 数学的帰納法（？）で数列{a_n}{b_n}は同じ値に収束する 2) a_n>b_nとして、 b_n=√(b_n*b_n)<√(a_n*b_n)=b_(n+1) a_n=2(a_n)^2/2(a_n)>2a_n*b_n/a_(n)+b_n=a_(n+1) (ここは計算すると、不等号が成り立ちますが、省略します。） またa_(n+1)<b_(n+1) (0<(a_n-b_n)^2から計算すれば出ますので省略します） これをまとめてb_n<a_(n+1)<b_(n+1)<a_nとなる 3) 次にa_n<b_nのときは 上記と同じような計算で b_(n+1)<b_n a(n+1)>a_n a_(n+1)<b_(n+1)がえられる。 2)3)の結果を合わせて a_n>b_nの場合は、a_(n+1)<b_(n+1)に、 a_n<b_nの場合はa_n<a_(n+1)<b_(n+1)<b_n…(1)となる。 nが2以上で(1)が無限に繰り返されていき、a_2<a_3<a_4<a_5<...<b_5<b_4<b_3<b_2が成立するため{a_n}{b_n}はともに有界であり、n=2以上で {a_n}は単調増加、{b_n}は単調減少であるとわかる。よってともに収束する。 数列{a_n}の収束値をA、数列{b_n}の収束値をBとして 与式に代入するとA=Bがえられ、数列{a_n}b_n}は同じ値に収束することがわかる。 といった感じ大まかにはあってますか？ Σ[n=0..∞]a_nが収束するならΣ[n=0..∞](-1)^na_nも収束? こんにちは。 Σ[n=0..∞]a_nが収束するならΣ[n=0..∞](-1)^na_nも収束。 という真偽判定の問題なのです。 真だと思うのですがどのようにして証明できますでしょうか? 数列の収束 次のような問題です。 a_1=1,a_n+1=1/(1+a_n)の漸化式で定まる数列を考える。 このとき数列a_nが収束することを示せ。 こんな問題なのですが、分かりそうでわかりません。 実際、順に書き並べていくと分子・分母がフィボナッチ数列になり一般項は求められないこともないですが、複雑すぎてここから収束性を示すのは難しいと思います。 また、この数列は有界なことは分かりましたが単調数列じゃないので収束性は示せませんし・・・ だれか分かるかたいましたら解答お願いします。 収束しない数列でチェザロ総和みたいなものを考えると 異なる正の数a,bに対し、 数列a[n]：a,b,a,b,a,b,… は収束しないですが、 S_1[n]=(a[1]+a[2]+…+a[n])/n としたとき、 lim[n→∞]S_1[n]=(a+b)/2 と収束し、そのようなものをチェザロ総和といいます。 では、 S_2[n]=√[(a[1]*a[2]+a[1]*a[3]+…+a[1]a[n]+a[2]a[3]+…+a[n-1]a[n])/{n(n-1)/2}] としたとき、 lim[n→∞]S_2[n] はどうなるのでしょうか？ さらに、lim[n→∞]S_3[n]、…、や、それらの収束の相互関係（大小関係や収束のしやすさ）などについて、なにかご存知のことがありましたら教えていただけないでしょうか？ 数列の収束、有界など 数列a(n)=1+1/1+1/2!+1/3!…+1/n!について (1){a(n)}は単調増加を示せ。 解: a(n+1)-a(n)=1/(n+1)!-1/n!＞0 ⇒a(n)＜a(n+1) (2)上に有界を示せ。 (3)収束することを示せ。 (1)は自力で解けたのですが、(2)(3)が分かりません。 申し訳ないのですが、分かる方は教えて下さい。よろしくお願いします。 数列の収束 数列の問題なのですが a_(n+1)=√2^(a_n) という数列で (1) a_0=2,a_0=4の時，2,4に収束することを示せ。 (2) a_0<2の時，lim(n→∞)a_n=2を示せ。 (3) a_0>4の時，lim(n→∞)a_n=∞を示せ (4) 2<a_0<4のとき，lim(n→∞)a_n=2を示せ。 という問題なのですが，(1)以外がどう手を付けて良いのかわかりません＞＜ どなたか解説お願いします。 数列 n^(1/n) が収束することを… 数列 n^(1/n) （ n の n 乗根，n は自然数）が収束することを 証明したいのですが、どうすればいいのでしょうか？ 教えて下さい。 極限が１であることは何となく分かるのですが、 収束することをうまく証明できません。 もし方法が複数あるなら、できるだけたくさん知りたいです。 一応大学生なのである程度難しくても理解できるよう がんばりますのでよろしくお願いします。 数列の収束について lim |a_n| = 0 なら lim a_n = 0 である。 n ->∞ n ->∞ ということは、はさみうちの定理で証明されてて理解できたんですが、 この逆について、つまり lim a_n = 0 なら lim |a_n| = 0 である。 n ->∞ n ->∞ ということは可能なのでしょうか？ たぶんいえないと思うのですが、 それを示すよい数列の例が浮かびません。 なので、知っている方がいたら教えてください。 逆についていうことが可能か不可能かだけでもかまいません。 日本史の転換点？：赤穂浪士、池田屋事件、禁門の変に見る武士の忠義と正義 OKWAVE コラム lim[n→0]a[n]=αと収束 教科書には、「{a[n]}が収束し」て、「lim[n→0]a[n]=α」のとき・・・という表現がよくありますが、 この２つは同じじゃないのですか？ lim[n→∞]|a_n|^(1/n)=1とせよ。Σ[n=1..∞]a_nx^nが[-r,r] (0<r<1)で一様収束 こんにちは。 [問] lim[n→∞]|a_n|^(1/n)=1とせよ。Σ[n=1..∞]a_nx^nが[-r,r] (0<r<1)で一様収束する事を示せ。 [証] |a_nx^n|≦|a_nr^n| (∵x<r) 且つ (Σ[n=1..∞]|a_nr^n|=)Σ[n=1..∞]|a_n|r^nが収束。 が言えれば Weierstrassの一様収束の定理「∀x∈I(Iは区間)|a_k(x)|≦c_k且つΣ[k=1..∞]c_kが収束 ⇒Σ[k=1..∞]a_k(x)はIで一様且つ絶対収束する」 が使えて Σ[n=1..∞]a_nx^nは一様収束する。 と示せるのですが「Σ[n=1..∞]|a_n|r^nが収束」がどうしても言えません。 どうすれば「Σ[n=1..∞]|a_n|r^nが収束」が言えますでしょうか? lim[n→∞]|a_n|^(1/n)=1(収束半径は1)からは「Σ[n=1..∞]a_nr^nが収束」しか言えませんよね。 Σ[n=0..∞](-1)^n/nの収束はどうやってわかりますか? Σ[n=0..∞](-1)^n/nの収束・発散を吟味して収束ならその和を求めようとしていま す。 実際に判定してみましたら lim[n→∞]|a(n+1)/a(n)|=lim[n→∞]|((-1)^(n+1)/(n+1))/((-1)^n/n)|=lim[n→∞]|-n/(n +1)|=1で判定不能になってしまいました。 こういった場合はどうすればいいんでしょうか? 和についてですがとりあえず 収束という前提で収束値を求めてみましたら log(1+x)=Σ[n=1..∞] {(-1)^{n-1}/n}・x^n x=1代入で，log2 =Σ[n=1..∞] (-1)^(n-1)/nとなりましたがこれで正しいでしょうか? 数列 1/(ｎ+1)+1/(ｎ+2)…1/(ｎ+ｎ) の収束について ----------------------- 数列{ａn}を ａn＝1/(ｎ+1)+1/(ｎ+2)…1/(ｎ+ｎ) とする。ただしn∈Ｎとする。 (1)この数列は収束する。 (2)n→∞のとき、0≦ａn≦1となる。 ----------------------- を示したいのですが、どのように導けばよいのかさっぱり解りません。 (1)で、この数列が収束することは単調増加することと下に有界であることから示せました。 (2)は解けずにいるのですが、疑問点があります。 n=1のときに、ａ1=1/2となり、数列が単調増加をすることから、0≦ａnということは有り得ないのでは？と思うのですが…。 このことと、大雑把な道筋を教えてください。 細かい計算は自力でやりたいので…。 Σ[n=1..∞]a_n (a_n>0)は収束する。Σ[n=1..∞]a_n/n^pが収束するようにpの全ての値を求めよ [問]Σ[n=1..∞]a_n (a_n>0)は収束する。Σ[n=1..∞]a_n/n^pが収束するようにpの全ての値を求めよ。 [解] (i) p>0の時, 1/1^p≧1/2^p≧…≧0且つlim[n→∞]1/n^p=0 よって定理「Σ[n=1..∞]a_n∈Rで{b_k}は単調且つlim[n→∞]b_n=0⇒Σ[n=1..∞]a_kb_kも収束」より Σ[n=1..∞]a_n/n^p∈R (ii) p=1の時 Σ[n=1..∞]a_n/n^p=Σ[n=1..∞]a_nで収束(∵仮定) (iii) p<0の時 が分かりません。 どのようにして判定すればいいのでしょうか? Σa_nx^nが絶対収束することを示す問題について… Σa_nx^nが絶対収束することを示す問題について… Σ(n=0→∞)をべき級数とし、x0(≠0)に対し数列{a_nx0^n}(n=0→∞)が有界であると仮定する。このとき、|x|<|x0|を満たすすべてのxに対してΣ(n=→∞)a_nx^nは絶対収束することを示せ。 という問題で、以下のような証明があるのですが、少しわからないところがあるので教えていただきたいです。 証明 a_nx0^nは有界であるから、 |a_nx0^n|≦M (n=0,1,2,…)となる定数M>0が存在する。 |x|<|x0|とすると、 |a_nx^n|≦M(|x|/|x0|)^n |x|/|x0|<1より、Σ(n=0→∞)M(|x|/|x0|)^nは収束する。 よって、Σa_nx^nは絶対収束する。 // このような証明があったのですが… |x|<|x0|とすると、 |a_nx^n|≦M(|x|/|x0|)^n の部分がよくわかりません。 なぜこのような不等式が成り立つのでしょうか?? 回答よろしくお願いします。 数列の収束について コーシー列である数列｛（n,1/n)}と｛（n,1/n^2)}が０に収束することを証明せよという問題です。どちらも定義 任意の（どんな小さな）ε＞0に対して（でも）、 | an －α|＜ε／2 (n≧N ) を満たす自然数Nが存在する。 を使って証明しようと思ったのですが、anに1/nと1/n^2を、αに０を入れてから先にいけません。どなたか詳しい方なるべく詳しく教えてください。宜しくお願いします。 数列Aｎが実数αに収束するとき lim(n→∞)A 数列Aｎが実数αに収束するとき lim(n→∞)A１＋A2＋A３＋…＋Aｎ/nがαに収束することを示せ。 ε-N論法でお願いします。 注目のQ&A 「You」や「I」が入った曲といえば？ Part2 結婚について考えていない大学生の彼氏について 関東の方に聞きたいです 大阪万博について 駅の清涼飲料水自販機 不倫の慰謝料の請求について 新型コロナウイルスがもたらした功績について教えて 旧姓を使う理由。 回復メディアの保存方法 好きな人を諦める方法 小諸市（長野県）在住でスキーやスノボをする方の用具 カテゴリ 学問・教育 人文・社会科学 語学 自然科学 数学・算数 応用科学（農工医） 学校 受験・進学 留学 その他（学問・教育） カテゴリ一覧を見る OKWAVE コラム 突然のトラブル？プリンター・メール・LINE編 携帯料金を賢く見直す！格安SIMと端末選びのポイントは？ 友達って必要？友情って何だろう 大震災時の現実とは？私たちができる備え 「結婚相談所は恥ずかしい」は時代遅れ！負け組の誤解と出会いの掴み方 あなたにピッタリな商品が見つかる！ OKWAVE セレクト コスメ化粧品 化粧水・クレンジングなど 健康食品・サプリ コンブチャなど バス用品 入浴剤・アミノ酸シャンプーなど スマホアプリ マッチングアプリなど ヘアケア 白髪染めヘアカラーなど インターネット回線 プロバイダ、光回線など
お礼
ごめんなさい 質問がちょっと間違えてました。 正しくは 「lim{n→∞}Σ{k=1~n}a_k が収束すれば a_nはｎが無限大に近づくにつれて、0に近づきますが」でした。 訂正して投稿しなおします。 申し訳ありませんでした