二次不等式 あってますか？

質問

私は数学というものにめっぽう弱く、何度考えてもさっぱり分かっていません。この問題も普通の人ならすぐに分かるのでしょうが、解いてみたはいいもののあってる自信が全くないです。
間違っていたら詳しい解説を含めて添削をお願いしたいと思います。

(a+b)^2-2b^2>0
b>0
これらを満足するときのbの範囲を求めるのですが、

私の解答は、

0<b<(1±2√2)a

となりました。
やっぱり間違ってますか？

よろしくお願いします。

回答No.3

kumipapa

#2 さんがおっしゃるように
0 ＜ b ＜ (1±√2) a
は問題で、意味が不明です。b は (1+√2)a よりちいさく、かつ？または？ (1 - √2) a より小さい？なんにしろ、間違っていますね。

(a + b)^2 - 2b^2 ＞ 0
a^2 + 2ab + b^2 - 2b^2 ＞ 0
b^2 - 2ab - a^2 ＜ 0
(b - (1+√2)a ) ( b - (1 - √2)a ) ＜ 0 　・・・ (1)
ここで、
(b - α) (b - β) ＜ 0 の解は、α≦β とすると α ＜ b ＜ β です。 (1) の場合も(1+√2)a と (1-√2)a の大小関係を調べる必要がありますが、これを (1-√2)a ＜ (1+√2)a とただちに判断してはいけません。 a の符号によって大小関係が変わることに注意しましょう。

a ＞ 0 のとき (1 + √2)a ＞ 0, (1 - √2)a ＜ 0　より
(1) の解は (1 - √2) a ＜ b ＜ (1 + √2) a ですが b ＞ 0 という条件より、
0 ＜ b ＜ (1 + √2) a

a ＝ 0 のとき (1) の解は 0 ＜ b ＜ 0となり、解なし（不等式そのものが b^2 ＜ 0 となってしまい解なし）。

a ＜ 0 のとき　(1 + √2)a ＜ 0, (1 - √2)a ＞ 0　より
(1) の解は (1 + √2) a ＜ b ＜ (1 - √2) a ですが b ＞ 0 という条件より、
0 ＜ b ＜ (1 - √2) a

以上より、
a ＞ 0 のとき、0 ＜ b ＜ (1 + √2) a
a ＝ 0 のとき、適する b は存在しない
a ＜ 0 のとき、0 ＜ b ＜ (1 - √2) a

(1) というのは、もともとが
(b - (a +√(2a^2))) (b - (a -√(2a^2))) ＜ 0
(b - (a + |a|√2)) (b - (a - |a|√2)) ＜ 0
です。こう書きますと、a の正負に関わらず a - |a|√2 ＜ a + |a|√2 ですから、不等式の解は、
a - |a|√2 ＜ b ＜ a + |a|√2
となります。その上で
a ＞ 0 のとき |a| = a より a - a√2 ＜ b ＜ a + a √2　→　(1 - √2) a ＜ b ＜ (1 + √2) a
a ＝ 0 のとき解なし
a ＜ 0 のとき |a| = -a より a + a √2 ＜ b ＜ a - a √2　→　(1 + √2)a ＜ b ＜ (1 - √2) a
と考えてもよいと思います。これに、b＞0 という条件を付加して、
a ＞ 0 のとき 0 ＜ b ＜ (1 + √2) a
a ＜ 0 のとき 0 ＜ b ＜ (1 - √2) a
です。

回答No.2

koko_u_

>0<b<(1±2√2)a
>
>となりました。
>やっぱり間違ってますか？

まずは、解答の書き方として問題があることを理解しましょう。
不等式ではなく、二次方程式の解で

x = 1±2√2

という書き方が見られますが、これは

x = 1＋2√2 または 1－2√2

という意味です。
しかし、この書き方を不等式にそのまま援用することはできません。

まずは二次方程式の解も「公式そのまま」x = 1±2√2 となるのではなく、
解が「x = 1＋2√2 または 1－2√2」なので、これをまとめて記載しているだけだということを認識しましょう。

回答No.1

at9_am

違います。

(a+b)^2-2b^2
=[a+(1-√2)b][a+(1+√2)b]
であり、b>0から
[a+(1-√2)b] < [a+(1+√2)b]
は自明です。

あとは、積が正になることから
0 < [a+(1-√2)b] < [a+(1+√2)b]
と
[a+(1-√2)b] < [a+(1+√2)b] < 0
で場合分けをすれば答えが出ます。