変化する磁界から電子が受ける力

質問

行きがかり上、電磁気の勉強をン十年ぶりに初めた者です。
価電子が磁界から受ける力を求めたいと思っています。
一様磁界中を磁界方向と直角方向に等速運動する価電子
（例えば、銅線内の電子）が受ける力は、ローレンツの式
F＝qE ＋ qv ｘ B
の第2項で求まるのかなと思うのですが、
（一例として、0.1Tの磁束密度中を電子が 1m/ms の速度で運動した場合には約 -1.6 x 10＾-17 N でしょうか？）
次に、変化する磁界から静止している価電子が受ける力を求めたいのですが、
手順として まず 変化する磁界が作る起電力を求め、その起電力が
価電子に及ぼす力を求めることで求まるのでしょうか？
起電力を求めたとして、電場への変換が分かりません。
例えば、 半径 5cmの1ターンの銅線が 磁界を横切って置かれ
磁束密度が 0.1T/μs の割合で変化したとき、銅線中の電子は
銅線中の磁束の変化から、以下の電界を与えられそうですが
E ＝ 0.1 x Πr＾2 ／10＾-6 ＝ 785 (V)
とかなり大きな値になってしまいます。
さらに、このリング状銅線はその囲む磁束の総変化量が
同じなら、面積に（従ってコイルの周長にも）は関係しないと
思われるので、電界強度（V/m）に直せそうにありません。
物理の公式には単位が明記されていないので、
とんでもない勘違いをしていないか、不安です。
電場が分かれば、上記ローレンツの式の第1項で求められそうなんですが。
どなたか助け舟をよろしくお願いいたします。

回答No.4

vq100mg · ベストアンサー

ANo.3 にいただいた補足内容に関し意見を書いてみました。

「導体中の電子が受ける力」が求められるか否かですが、どんな力を期待されているかによります。　ANo.3 を読まれた後も ANo.2 の補足に書かれた手法に変化が無いのだとすれば、「導体ループが無い状態の誘起電界が電子に及ぼす力を求め、それに導体の抵抗をどうにかして、ループの起電力や、出力電力を求めよう」となさっているのだと思います。　「導体ループが無い状態で誘起電界が電子に及ぼす力」は明白です。　しかし、おっしゃるような方法で起電力を導くことはできないように思います。　実際、導体の抵抗が大きい方が起電力が大きいというよう不条理にぶつかっていらっしゃいます。

ループ導体の端子間電圧を求めるという目的においては、785/0.314 = 2500 [V/m] や 4 x 10^-16 [N] は使途不明です。　磁束が時間変化してもそのような電界や力が発生するタイミングは決してありません。　そうなる前に電子の密度分布が変化するからです。　また分極との相殺としてそのような電界を仮想的に考えることはできますが、使途不明では有名無実です。　端子電圧は、2500 [V/m]が全周で相殺される事によって生じているのですが、785 / 0.314 x 0.314 = 785 という計算をしても価値はありません。

では、2500 [V/m] や 4 x 10^-16 [N]が姿を現す局面は全く無いのかといえば、そんな事もありません。　

ANo.3 で負荷電流がある場合の電圧降下に触れました。　Ａ君の電圧計には、アクセスした２点間の抵抗に負荷電流を乗じた値が表示されます。　２点間の抵抗と表現したのは導体ループ全周の一部分でも良いからです。　均等な電位傾斜がみられ、これこそ内部電界です。　この電界で電子は引っ張られ、格子振動で散乱され、その均衡で平均速度が決定されていることになります。　ごく普通の抵抗線内の挙動と違いはありません。　つまり内部の電界とか電子に働く力(＝抵抗力)というのは、負荷に供給する電力を決定するのでは無く、ループ導体の損失電力に関する項目なのです。

そして2500 [V/m]、 4 x 10^-16 [N]という値になるのはどんな時かと言えば、導体ループを短絡した時です。　一周の電圧降下が、起電力と同じ 785 V に一致します。　そして電子は　4 x 10^-16 [N]　の力を受け、格子に阻まれて、ある平均速度を維持している筈です。　ただしこれは電流により起電力が影響を受けないよう配慮した場合で、その為の条件を書き添えておかなければなりません。　30 cmの銅線で 785 V の電圧降下が生じている状況は非現実的であり、びっくりされるでしょうから。　簡易的には導体ループを抵抗線などにし軽負荷になるようイメージして下さい。　　漏れ磁束とか漏れインダクタンスと呼ばれるものが、負荷電流に対して無視できないような条件下では起電力が減少しますが、軽負荷ゆえ起電力の変化は無いと、理想化して考えて下さい。　起電力が低下しない条件を厳密に言うなら、導体ループの電流によって鎖交磁束が変化しない事、となります。　具体的にどう実現されるかというと、磁束の発生源のコイルが定電圧的に駆動されていて、問題の導体ループを貫く磁束は、自己完結することなく、必ず磁束発生コイルとも鎖交するようになっていれば良いのです。　

不可解な点はご遠慮なくどうぞ。

お礼

vq100mgさん、

何度も付き合っていただいてありがとうございます。
今日、外出のついでに別の本屋に寄ってみました。
新しくみつけた本の中に、加藤正昭著 「演習 電磁気学」
（サイエンス社）という本があり、
この本は他の演習本とは少し違った観点の演習問題が
取り上げられているように思えましたので購入してみました。
そして、その75P に 私の疑問に対する答えを見つけました。
以下、概略です。
半径aの円柱状の内部に一様な時間変化する磁場 B(t)があり、
その周囲半径 ρのところに以下の電場が生じるという例題がありました。
E(ρ)＝a^2／ρ・δB／δt
これによる計算の結果は私の行った計算と一致しました。
また、82Pには渦電流の例題の説明中に
一様な磁界Bに直交する金属の円柱が回転する場合に、その円柱上の任意の点
P(y,z)にある単位電荷に ローレンツの力
E'＝ -yBω
が働くが、この E'は 電場ではないが、電場と同じように
電流を流す働きをする。
そしてそのローレンツ力と金属の導電率 σを用いて、流れるうず電流は
ｊ＝ σE'＝ －yσBω
と表されるという説明がありました。
まだ完全にこの説明を理解できたわけではありませんが、
私の疑問に思っていたことに対して殆ど説明されていると思います。
もう少しこの本を読んで、分からなかったらまた質問に来ます。
しつこい質問に気長にお付き合いいただきありがとうございました。

回答No.3

vq100mg

ANo.2 補足を拝見しました。　項目順の説明は難しそうですが、一応全項目に関連した話になると思います。

「ポテンシャルは意味を為しません」と書きましたが、電磁誘導を納得するのにとても重要だと思いますので、この辺りの説明からになります。　「保存場でない」「ポテンシャル場でない」などの表現もあります。　検索すれば沢山ヒットすることと思います。　ポテンシャル場の例は電界や重力場です。　電荷や質量を移動させる際、仕事は経路に関係なく、最初と最後の２端点の電位（位置）だけで定まります。　電磁誘導の場はそのような日常の常識的な場では無いという事です。

具体例をあげてみましょう。　円卓があり、中央にあなたの導体ループがセットしてあります。　磁束は細い柱で上下方向に貫いていますが、径方向に関しては導体ループの内部に留まっているとします。　方位を示すのに時計の文字盤を使いましょう。　11 時と 1 時の位置に導体ループの端点があり、あなたが 12 時の位置、Ａ君が 6 時の位置に座しています。　端子電圧、すなわち導体ループの「二端点の電位差」を測定するのが目的です。　電圧計としては、２本のテストリードを備えた俗称テスタをイメージして下さい。　あなたはたぶん 785 V を得るでしょう。　Ａ君はどうでしょう。　もしかすると零 V かもしれません。　両方の手で１本づつリード線を持ち、導体ループの両側から磁束の柱を抱え込むように両端子にアクセスすれば零 V です。　導体ループとリード線の直列ループは磁束に鎖交していませんからね。　勿論片側から２本のリード線を回せば、あなたと同じ 785 V です。　さらにテストリードを両側から交差させて当てれば電圧は２倍です。　２ターンになりますからね。　テストリードそのものが引き回される空間には、一切磁束の無い事を強調しておきましょう。　それでも経路に依存して測定結果は異なるのです。　一意性が無いという事を測定条件の不備と捉えることも出来るでしょうが、ポテンシャルの概念が通用しないと解釈したほうが発展性があります。

「導体ループに沿った電界は零、積分結果の電圧も零」というのは、両側からアクセスしたＡ君の立場です。　電磁誘導による電界は、電子が移動し導体が分極する事により生じる電界と相殺しているのです。　まず無負荷で、感じを掴むのが良いと思います。　ランプ波形の最中（磁束直線変化時）は電子の動きはありません。　では負荷を繋いだらどうなるのか。　両端の帯電とも言うべき前記分極電子が外部に放電される事になります。　そうすると、電磁誘導の電界を相殺する為の電界が不足しますから、自由電子の移動が余儀なくされます。　これが負荷電流のメカニズムだと思います。

ところで負荷電流があるとＡ君の電圧計の指示は零ではなくなります。　導体ループの抵抗に負荷電流を掛けた値になります。　電磁誘導の起電力は測定されないが、抵抗による電圧降下分は測定されます。

不可解な点などあれば、ご指摘ください。

補足

vq100mgさん、
詳細なご説明を頂きありがとうございます。
ご説明の内容は、大体は理解できた気がします。

それでも、
＞両端の帯電とも言うべき前記分極電子が外部に放電される
の元となっていると思われる導体中の電子が受ける力について、
求められるんでしょうか？ 求められないんでしょうか？
求められるとしたら、その求め方は？
という疑問を感じています。
（「ポテンシャル場でない」ことがまだ理解できていないのでしょうか。）

しつこくてすみません。

回答No.2

vq100mg

ご提示の電圧は、1ターンの導線のいわゆる端子間電圧ではありますが、導線に沿った電圧ではありません。　導体内部や表皮に沿った電界は零(僅少)というのが鉄則です。　電界があれば自由電子が移動するので、内部電界を零に打ち消すような分布変化があると説明するのが常です。　　この事は変動磁界下でも変わりません。　

導体ループに沿った電界は零、積分結果の電圧も零です。　一方、末端の２点間には確かに dφ/dt なる電圧が生じます。　不思議に思われるでしょうか。　後者は、暗黙に末端の２点を直線で結んだ経路で電界を積分したものである事に注目して下さい。　積分経路が違うのです。　変動磁界のある場では「ポテンシャルは意味を為しません」。　

磁束が変化し、仮に導体ループに沿って電界が生じたとしましょう。　その電界をキャンセルするように自由電子が動き、位置を変え落ち着きます。　全周の各点で電界がキャンセルされる為には密度勾配をつくると思います。　　ただこの自由電子の位置変化は極めて僅かです。　自由電子は大量にあり、しかも僅かな寄生容量（端子間に集中定数換算したなら、当該例で数 pF 以下）さえ充電すれば、打ち消し相当の電界を発生出来るのですから。　 　ランプ波形なら、その最中は、電磁誘導から受ける力と密度勾配による電界から受ける力の均衡で、電子は静止していることになります。　またそれらの電界や力が幾何学寸法に依存するのは不思議ではありません。　寄生容量も寸法依存ですから。

電磁誘導の起電力の捉え方ですが、導体に沿った電界が零になるからこそ、本来全周に分布している電界が末端の端子間に集中する・・・　と考えると納得し易いかもしれません。

補足

vq100mgさん、ご指摘ありがとうございます。
説明が下手なので、少し回りくどくなるのですが私の考えを説明させていただいて質問の補足をさせてください。

>導体内部や表皮に沿った電界は零(僅少)というのが鉄則です。
>電界があれば自由電子が移動するので、内部電界を零に打ち消す
(1) 鉄則というほどの理解はしておりませんでしたが、一応分かっていたつもで、「電界があれば自由電子が移動して内部電界を０にしようとする ＞ その結果外部負荷に電流が流れて仕事が行われる」 と理解しておりました。
>導体ループに沿った電界は零、積分結果の電圧も零です。　一方、末端の２点間には確かに dφ/dt なる電圧が生じます。　不思議に思われるでしょうか。
(2) そもそも、ここが私の疑問のスタート点でして、その「不思議」から電子が与えられる「力」で考えてみようと思ったわけです。
(3) そこで、まず (1)のように「生じようとする」電界を考え、そこから電子の受ける力を計算し、次にその電子の数や抵抗率などを考慮して外部負荷に流れる電流＝仕事量が導けないかと。（鶏と卵の関係になってしまいますが）
(4) また、『変動磁界中の導体にはその磁界を＜維持しようとする（方向に）＞電流が流れる』のであれば、＜維持＞のための電流が流れるためには抵抗を持ったニクロム線などのほうが銅線より起電力が大きくなりそうな気がするのに、実際にそうならないのは材質によらず各電子が受ける力は同じで、そこに存在する自由電子の数が少ないか、自由度が少ない分だけ外部に対して出来る仕事が小さくなると考えられないか。
(5) この変動磁界から電子が受ける力（電流を流そうとする＝電界に相当する）を求めるために、起電力から仮想的な電界を考えてはいけないのか？
というような順序で、「変動磁界中の電子が受ける力を知りたい」となったわけです。
ですから、発生もしていない「電界」を計算してそれをローレンツの式に適用するのは無謀かなと思いつつも計算をしてみた、ということです。（最初の質問でこのバックグラウンドを書くべきでした。すみません。）
ただ、「変動磁界中の電子が受ける力」については、小さな本屋で立ち読みの範囲では演習本にズバリの問題は無かったような気がして、興味が増したこともあり聞いてみました。
というような次第で、やはりまだ「変動磁界中の電子が受ける力」を知りたいと思っています。解法が「○○に載っていたはず」のようなヒントでもいいのでいただけませんか？
それと、
> 変動磁界のある場では「ポテンシャルは意味を為しません」。　
の部分は、イマイチ分かりませんでした。出来ましたら噛み砕いて説明いただけるとありがたいのですが。
よろしくお願いいたします。

回答No.1

yokkun831

0.1T/μs というのは，磁場の変化率としては相当大きなものでは
ないでしょうか。したがって，785Ｖは妥当な値であるように
思うのですが。
　また，「リング状銅線はその囲む磁束の総変化量が同じなら…」
という点ですが，全くそのとおりです。でも，ひとまず0.1T/μs
で変化する一様な磁場を考えられたのではないのですか？
もしそうであるなら，磁束は誘導起電力Ｅ（「電界」は誤りです）
の計算にもあるように磁束密度かける面積ですから，もちろん
面積に関係します。するとＥを周長２πｒで割ってやれば，単位長
当たりの起電力すなわち電界強度が得られることになると思います。

お礼

アドバイスありがとうございます。
確かに 0.1T＝1000ガウスというのはちょっとしたマグネットと同じですので1μsでそれを磁束の影響範囲から動かすエネルギーと考えればかなりなエネルギーですね。
2番目の問題は、仮定として一様ではなく、ある断面積だけ一定の磁束密度の円柱があって、その周囲に磁束密度０の空間をとってコイルの半径を大きくしていった場合を考えていたのですが、その場合でも1個の電子が受ける力は変わるんでしょうが周長が変わる分影響を受ける電子が多くなるのでエネルギーとしては同じで、起電力は変わらないのかなと、今気づきました。
で、素直に785Vを 0.314mで割って電子の電荷をかけると
約 -4 x 10＾-16 (N)となりました。
これで合っているんでしょうか？