磁界 電子

質問

+y方向に磁束密度Bの一様な磁界がある
質量m、電荷-eの電子を原点Ｏから初速v0で打ち出した
速度の向きはxy面内でy軸から角θの向きである
電子がy軸上に現れる位置の間隔を求めよ

解き方を教えてください！

この投稿のマルチメディアは削除されているためご覧いただけません。

回答No.2

ereserve67 · ベストアンサー

・3次元ベクトル計算（外積程度）を使います．

・複素数（オイラーの公式の簡単な微積分）を使います．

・厳密に解ける理想化された条件で解きます．

運動方程式はローレンツ力を使って

m{(dv_x/dt)i+(dv_y/dt)j+(dv_z/dt)k}=-e(v_xi+v_yj+v_zk)×Bj

ここにi,j,kはそれぞれx,y,z軸方向の基本ベクトルで，v_αはα軸方向の速度成分です．

i×j=k, j×j=0, k×j=-i

より

m{(dv_x/dt)i+(dv_y/dt)j+(dv_z/dt)k}=eBv_zi-eBv_xk

成分に分けると

(1)x成分：dv_x/dt=(eB/m)v_z

(2)ｙ成分：dv_y/dt=0

(3)ｚ成分：dv_z/dt=-(eB/m)v_x

これを初期条件

(x(0),y(0),z(0))=(0,0,0)

(v_x(0),v_y(0),v_z(0))=(v_0sinθ,v_0cosθ,0)

で解きます．

まず，(2)より

v_y=v_0cosθ∴y=v_0tcosθ

(1)，(3)を効率よく解くために複素関数

w(t)=v_x(t)+iv_z(t)

と定数

a=eB/m

を定義します．ここのiは虚数単位です．(1)，(3)は次の方程式にまとめられます．

dw/dt=dv_x/dt+idv_z/dt

=av_z+i(-av_x)

=-ia(v_x+iv_z)

dw/dt=-iaw

これは簡単に解けて

w(t)=w(0)e^{-iat}

ここで

w(0)=v_x(0)+iv_z(0)=v_0sinθ

より

x(t)+iz(t)=v_0sinθ{e^{-iat}-1}/(-ia)

=v_0sinθ{cos(at)-1-isin(at)}/(-ia)

=v_0sinθsin(at)/a+iv_0sinθ{cos(at)-1}/a

すなわち

x(t)={mv_0sinθ/(eB)}sin(eBt/m)

z(t)={mv_0sinθ/(eB)}{cos(eBt/m)-1}

y軸はx=z=0であるので

（☆）sin(eBt/m)=0かつcos(eBt/m)=1

のときy軸上の座標

（★）y(t)=v_0tcosθ

に到達します．☆のt≧0における解は

e^{ieBt/m}=cos(eBt/m)+isin(eBt/m)=1

∴eBt/m=2nπ(n=0,1,2,…)

これを満たすtをt_nと書くと

t_n=2nπm/(eB)

★より

y(t{n+1})-y(t_n)

=v_0cosθ(t{n+1}-t_n)

=v_0cosθ{2πm/(eB)}(n+1-n)

=v_0cosθ{2πm/(eB)}

=2πmv_0cosθ/(eB)（答）

お礼

すみません、補足質問の方を補足させていただきます
e^{-iat}/dとなっている場所がありますがe^{-iat}です
失礼しました

補足

すみません、分からないところが多々あります

「(2)より
v_y=v_0cosθ」
v_y=v_y(0)=v_0cosθとなったとは思うのですがv_y(0)が出てくる理由がわかりません

「dw/dt=-iaw
これは簡単に解けて
w(t)=w(0)e^{-iat}」
e^{-iat}/dだけでdw/dt=-iawを満たすのにw(0)がついてくるのは何故ですか？

「x(t)+iz(t)=v_0sinθ{e^{-iat}-1}/(-ia)」
w(t)=v_x(t)+iv_z(t)=v_0sinθe^{-iat}
両辺をtで積分すると
x(t)+iz(t)=v_0sinθe^{-iat}/-iaだと思うのですが何故引く1が追加されてるのでしょうか？

恐らく微積分の基本が抜けてるのですがせっかく投稿していただいたので理解したいと思い質問させていただきます
回答お願いします

回答No.3

ereserve67

ANo.2です．補足とお礼について

>「(2)より
>v_y=v_0cosθ」
>v_y=v_y(0)=v_0cosθとなったとは思うのですがv_y(0)が出てくる理由がわかりません

ここは回答文でv_y=v_0cosθとなっているのはv_y(0)=v_0cosθでした．失礼しました．なぜ，v_y(0)かというと，これはt=0でのv_yの値，つまり初速v_0のy成分v_0cosθです．(2)でdv_y/dt=0でしょう．これを積分するとv_y(t)=C(一定)．t=0とすればv_y(0)=v_0cosθでありC=v_0cosθ．つまりy方向は初速で等速度運動することになります．

>「dw/dt=-iaw
>これは簡単に解けて
>w(t)=w(0)e^{-iat}」
>e^{-iat}だけでdw/dt=-iawを満たすのにw(0)がついてくるのは何故ですか？

一般にdy/dt=kyの解はCを任意定数としてy(t)=Ce^{kt}です．y(0)=Cであるからy(t)=y(0)e^{kt}となるのです．y(0)がw(0)に対応します．これがないと初期条件が一般に満たせません．

>「x(t)+iz(t)=v_0sinθ{e^{-iat}-1}/(-ia)」
>w(t)=v_x(t)+iv_z(t)=v_0sinθe^{-iat}
>両辺をtで積分すると
>x(t)+iz(t)=v_0sinθe^{-iat}/-iaだと思うのですが何故引く1が追加されてるのでしょうか？

積分定数が抜けています．まず，それをCとすると

x(t)+iz(t)=v_0sinθe^{-iat}/(-ia)+C

初期条件x(0)=z(0)=0ですから，上の式でt=0とすると

0=v_0sinθ/(-ia)+C
C=-v_0sinθ/(-ia)
∴x(t)+iz(t)=v_0sinθe^{-iat}/(-ia)-v_0sinθ/(-ia)
=(v_0sinθe^{-iat}-v_0sinθ}/(-ia)
=v_0sinθ{e^{-iat}-1}/(-ia)

となるのです．

※この問題は電磁気学やベクトルや微積分の常套手段を問う良問です．頑張ってください．

お礼

よく分かりました
がんばります
ありがとうございました！

回答No.1

中村 拓男（@tknakamuri）

確か高校では螺旋運動すると教えるのですよね。
そういう答えでよければここに答えがあります。
http://www.ravco.jp/cat/view.php?cat_id=5778

ただし、加速度運動する電子は本当は電磁波を放出するので実際は
こうはならないはず。

高校生向けの答えがどのくらいの近似なのかは計算したことないです。

お礼

ありがとうございました！