確率

質問

確率の問題で、自分なりに解答をだしてみました。
問　事象A,Bが互いに独立であり、P(A)=1/2,P(B)=1/3であるとき、
　　P(A∩B)P(A∪B)の値を求めよ。

解　P(A∩B)=P(A)×PA(B)=(1-1/2) × (1-1/3)=1/3
P(A∪B)=P(A)×P(B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=1/2+1/3-1/3=1/2
よって、P(A∩B)P(A∪B)＝1/3×1/2＝1/6となる。

自分ではこのように解いたのですが、これでいいのでしょうか。
だれか教えていただけませんか。
宜しくお願いします。

回答No.4

kumipapa

＞　P(A∩B)=P(A)×P(B)=1/2×1/3=1/6
＞　P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=1/2+1/3-1/6=2/3
＞　よって、P(A∩B)P(A∪B)＝1/6×2/3＝1/9となる。
その通りだと思います。

しかし、何のために P(A∩B) P(A∪B) を計算させるんでしょうね。
どうでも良いことかも知れませんが。

回答No.3

kumipapa

＞　解　P(A∩B)=P(A)×P(B)=1/6
＞　P(A∪B)=P(A)×P(B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=1/2+1/3-1/3=1/2
＞　よって、P(A∩B)P(A∪B)＝1/6×1/2＝1/12となる。
２行目で P(A∪B) = P(A)×P(B) としているのはなぜですか？ 単に
P(A∪B)= P(A) + P(B) - P(A∩B)
とすべきではないでしょうか。
また、P(A∪B) = P(A) = 1/2 になるのは何だかおかしくないですか？ ２行目の P(A∩B) の代入値が間違っています。

補足

回答ありがとうございます。

途中計算が間違っていました。
再度計算したところ、

解　A,Bが互いに独立であるので
　　P(A∩B)=P(A)×P(B)=1/2×1/3=1/6
　　P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=1/2+1/3-1/6=2/3
　　よって、P(A∩B)P(A∪B)＝1/6×2/3＝1/9となる。

この計算でよいのでしょうか。
回答よろしくお願いします。

回答No.2

kumipapa

＞　ここのところは、P(A∩B)＝1/2×1/3＝1/6という計算でよいでのしょうか
良いです。っていうか、P(A∩B) = P(A) P(B) が成立することが、 A と B が互いに独立であることの定義でしょう。

教科書によって書き方に多少の違いがあるのだろうと思いますが、
A, B が独立　⇔　P(A|B) = P(A), P(B|A) = P(B)
（Bという条件があってもなくてもAである確率は変わらない。Aという条件があってもなくてもBである確率は変わらないということ。条件付確率と周辺確率とが一致する）
これが基本的な定義（だと私は思う）。

P(A|B) = P(A∩B) / P(B) より、
A, B が互いに独立
⇔　P(A|B) = P(A), P(B|A) = P(B)
⇔ P(A∩B) = P(A) P(B)

お礼

すいません。途中計算が間違っていました。
再度計算したところ、

解　A,Bが互いに独立であるので
　　P(A∩B)=P(A)×P(B)=1/2×1/3=1/6
　　P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=1/2+1/3-1/6=2/3
　　よって、P(A∩B)P(A∪B)＝1/6×2/3＝1/9となる。

との値がでました。
kumipapaさんのおかげでようやくここまでたどり着くことができました。
ありがとうございました。
もし、この値が間違っていたら教えて下さい。
宜しくお願いします。

補足

kumipapaさん回答ありがとうございます。
アドバイスをもとに、再度計算をしてみました。

問　事象A,Bが互いに独立であり、P(A)=1/2,P(B)=1/3であるとき、
　　P(A∩B)P(A∪B)の値を求めよ。

解　P(A∩B)=P(A)×P(B)=1/6
P(A∪B)=P(A)×P(B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=1/2+1/3-1/3=1/2
よって、P(A∩B)P(A∪B)＝1/6×1/2＝1/12となる。

このような値がでましたが、これでよろしいいのでしょか。

回答No.1

kumipapa

＞　解　P(A∩B)=P(A)×PA(B)=(1-1/2) × (1-1/3)=1/3
B ⊆ A という条件もないのに P(A∩B) = 1/3 = P(B) になるのは、変じゃないか・・・と思いませんか？

補足

回答ありがとうございます。
kumipapaさんの通り、P(A∩B) = 1/3 = P(B) になるのはおかしいです。
では、ここのところは、P(A∩B)＝1/2×1/3＝1/6という計算でよいでのしょうか。

回答をよろしくお願いします。