条件付確率

質問

事象A、事象B がありそれぞれの事前確率は順に

0.6, 0.4

追加情報　θ1：Aが起きる、θ2：Bが起きる という情報を得られるがその信頼度は80%

事後確率 P(A|θ1), P(B|θ1), P(A|θ2), P(B|θ2) を求めよ。

という問いなのですが、回答には、

P(A|θ1) = 6/7
P(B|θ1) = 1/7
P(A|θ2) = 3/11
P(B|θ2) = 8/11

とあります。問題の意図がよくわからず、取りあえずθ1が与えられた場合の事後確率は、直感的に信頼度が80%なのだから

P(A|θ1) = 4/5
P(B|θ1) = 1/5

じゃないの？とか思ってしまったのですが・・・。
どうも頭がこんがらがってしまったので、どなたかアドバイスを頂けないでしょうか。

回答No.1

Tofu-Yo · ベストアンサー

あなたはワ－ルドカップ決勝（イタリア対フランス）を見損ねました。友人の時庭嘘雄くんに聞いたら「イタリアが勝ったよ」と教えてくれました。あなたは経験から、イタリアとフランスが戦えばイタリアが0.6の確率で勝つことを知っています。一方、嘘雄くんがあまりいい友人でなく、２割は嘘をつく人間であることも知っています。これらの情報を基にするとイタリアが勝った確率は？というのがこの問題でいうP(A|θ1)です。（事象Aを「ワールドカップ決勝でイタリアがフランスに勝つ」、事象Bを「ワールドカップ決勝でイタリアがフランスに負ける」
事象θ1を「嘘雄くんが『イタリアが勝った』と言う」、事象θ2を「嘘雄くんが『イタリアが負けた』と言う」とおいてみてください。）

誤解しやすいですが、P(A|θ1)=4/5ではありません。極端な話、もしこの問題でイタリアがフランスに勝つ確率が0.6ではなく1.0だったら・・・と考えるとP(A|θ1)が4/5ではないことがある程度想像できるのではないでしょうか？イタリアが必ず勝つと知っていれば嘘雄くんがどう言おうが関係ないでしょう。このときあなたはP(A|θ1)=1と考えるはずです。
ではなぜそう考えたのか？それを探っていけば解決の手がかりになるでしょう。これを踏まえてもう一度考えてみてください。

ヒント：何も情報がない段階では４つの事象
(1)「イタリアが勝って嘘雄くんが『イタリアが勝った』と言う」
(2)「イタリアが負けたのに嘘雄くんが『イタリアが勝った』と言う」
(3)「イタリアが勝ったのに嘘雄くんが『イタリアが負けた』と言う」
(4)「イタリアが負けて嘘雄くんが『イタリアが負けた』と言う」
が考えられます。しかし今嘘雄くんは「イタリアが勝った」と言ったのだから2つは消えましたよね・・・。