x*exp(x^2)=C(const)の式をｘ= の形に直す方法を教えてください

質問

x*exp(x^2)=C(const)の式をｘ=
の形に直す方法を教えてください．

対数log使ってかんがえていたのですが，
log（ｘ）+ｘ＾2＝log（C）
からどうすればいいのかわかりません．できたら答えも教えてください.

回答No.2

info22

QNo.409005で解答したものです。
初等関数の範囲ではx=f(C)の形で表すことは出来ません。
多くの数学者に研究尽くされているランベルトW(z)関数を使わないと表せません。

> 対数log使ってかんがえていたのですが，
log（ｘ）+ｘ＾2＝log（C）
幾ら頑張っても初等関数では表現できません。
特殊関数W(z)を使って表すしかないです。
LambertW(z)関数の定義は
z=W(z)*exp(W(z))
をW(z)に付いてといた関数W(z)です。

これを使えば
C=x*exp(x^2)…(A)
2乗して
C^2=x^2*exp(2x^2)
2倍して
2C^2=2x^2*exp(2x^2)
この式をLambertW(z)関数の定義に適用すれば
z=2C^2,W(z)=W(2C^2)=2x^2
これをxについてとけば
x=±(1/√2)√{W(2C^2)}

符号が(A)からxとCが同符号であるから
C(≠0)の符号を表す「C/|C|」を使うことで

x={C/(|C|√2)}√{W(2C^2)}

と得られます。

参考URL：

http://en.wikipedia.org/wiki/Lambert_W_function

お礼

ありがとうございます

回答No.1

rabbit_cat

初等関数の範囲では解けません。

ランベルトのW関数という特殊関数を使えば、一応、解いた気分にはなれますが。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E3%81%AEW%E9%96%A2%E6%95%B0

もしくは、本質的には同じですけど、級数展開してみるか。