場合の数 (数Ａ)

質問

初めまして。いつも見させてもらってます。
質問があります。
確率が本当によく分かる本(細野シリーズ)の練習７で疑問が出ました。

(問題)
n人が３つの部屋のいずれかに入る。どの部屋にも少なくとも１人は入る。
部屋に区別がないものとして何通りあるか求め
(本の解答)
部屋が区別のあるものとして・・
「空きがあってもなくてもよい」・・3^n通り
「空き１つ」・・3(2^n-2)通り
「空き２つ」・・３通り
よって、空きがない場合・・3^n-3(2^n-2)-3通り
ゆえに部屋に区別がない場合は空きがない場合に3!で割ったものになる
って感じなんですが・・。
(僕の解答)
部屋が区別ないものとしたまま考えて・・
「空きがあってもなくてもよい」・・3^n÷3!通り
「空きが１つ」・・3(2^n-2)÷3!通り
「空きが２つ」・・１通り
これより空きがない場合を求めました。

「空きがあってもなくてもよい」「空きが１つ」については結果論同じ意味をもつ数値になりました。
が・・。「空きが２つ」に関しては本の解答と僕の解答で意味あいが異なってます。
僕の何が間違っているんでしょうか。
本の解答だと３つの部屋に区別がない条件の下での「空きが２つ」は3!で割った２分の１が答えになってしまい気がするんですが。

回答No.2

Kules · ベストアンサー

ちょっと説明しにくいのですが、
部屋に区別がある時とない時では空き部屋の扱いが少し変わります。
区別がある時は「どの部屋が空いているか」によって話が変わるのでどの部屋も対等に扱えますが、
区別がない時は「何部屋空いているか」しか関係なくなるので空き部屋と空いてない部屋の扱いが変わります。
すなわち区別がない時は
「空きがあってもなくてもよい」からと言って
２部屋使っている時と１部屋使っている時を同じように3!で割ってはいけないということです。

回答No.3

Ishiwara

質問者さんがどこでつまずいておられるのか、理解できません。
どこも矛盾していないように思えますが。
「空きが２部屋」ということは、全員が１つの部屋に集中した、ということですよね。
部屋を区別するなら３とおりだし、区別しないなら１とおりだと思います。

回答No.1

koko_u_

n = 3 とすると、あなたの考えだと

「空きがあってもなくてもよい」・・3^3÷3! = 9/2 通り

になってしまいますね。