行列の次数下げ！

質問

線形代数について分からない事があります！
【質問】
３×３行列Aがあります。この時、A^3の次数を下げられるでしょうか？

これがもし２×２行列ならばケーリーハミルトン公式を使えば次数を
さげられるのですが３×３行列の場合は下げられるのでしょうか？

よろしくお願いします。

回答No.1

arrysthmia · ベストアンサー

A^3 = p A^2 + q A + r となる係数 p, q, r を見つけられるか
という意味ですか？
何×何行列であっても、「ケーリーハミルトン公式を使えば」できます。
３×３行列だとわからなくなる　ということは、
ケーリー・ハミルトンの定理を（理解不理解以前に）知っていない
ということですから、
２×２行列の場合も、一度は勉強してから使ったほうが良いでしょう。
内容を理解していない定理を公式暗記で使おうとすれば、必ず間違えます。

参考URL：

http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/05unitr/apdx02.html

回答No.2

arrysthmia

No.1 で微妙な書き方をしてしまったので、付記。
「何×何行列であっても、～できます。」 は、
Ａがｎ×ｎ行列であれば、Ａ^n をＡのｎ－１次以下の多項式で表すことができる
という意味です。 何次行列でも、Ａ^3 を～　という意味ではナシ。

お礼

どうもありがとうございました！
その通りでケーリーハミルトンの定理は２×２行列にしか適応
できないのかと思ってました。(^^;)

一般的にn次の行列に対して成立するものなのですね