再度n次導関数

質問

つい最近、ｎ次導関数について質問させて頂いた者です。前回は、途中の式を書き込むのを怠り、丸投げ状態で投稿し、注意を受け、質問を取りやめました。しかし、再度自力で計算しようとすると、やはりまだ行き詰まります。
問題は以下のf(X)のｎ次導関数を求める、という問題です。

(1)　f(x)=2x＋1/x~2＋2x－3
　　 f'(x)=(-2)(3X~2＋4X＋5)(X~2＋2X-3)~-2
f''(x)=(-4){(X~2＋2X-3)~-3}(-3X~2-6x~2-23X-4)

(2) f(x)=log(1－x~2)~1/2
f'(X)=1/2(1-X~2)~-1
f''(X)=X(1-X~2)~-2
f'''(X)=(1-5X~2)(1-x~2)~-3
f''''(X)=(-4){(1-X~2)~-4}(X-5X~3)

(3) f(x)=sinxsin2x
f'(X)=sin(X＋π/2)sin2X＋2sinXsin(2X＋π/2)
f''(X)=4sin(X＋π/2)sin(2X＋π/2)＋5sinXsin(2X＋π)
　　f'''(X)=13sin(X＋π/2)sin(2X＋π)＋14sinXsin(2X＋3π/2)

(4) f(x)=xcos2x
f'(X)=cos2X＋2Xcos(2X＋π/2)
f''(X)=4cos(2X＋π/2)＋4Xcos(2X＋π)
　　f'''(X)=12cos(2X＋π)＋8Xcos(2X＋3π/2)

回答して頂ける方々へ

問題の解答は書かず、計算の方針面と、注目すべき因数などヒントだけを回答に書いてくだされば結構です。

よろしくお願いします。

回答No.1

narucross · ベストアンサー

こんにちは。
第n次導関数が、一般項で表現できるということは、微分しても、微分してもその形がある程度保たれているから、容易に先が推測できるわけですね。
なお、必要な部分には（）をつけましょう。たとえば、1ですと、分母分子にも括弧が必要です。2は、logの支配領域がどこまでなのかわからない表記になっていますね。
指針のみ示します。

1　部分分数分解してみましょう。（定数）/（xの一次式）の形は、微分後の形がすぐ分かる形ですね。

2　先述の通り　転記ミスか、計算ミスか・・・
3　積→和公式というものがあります。（正弦、余弦の加法定理を足したり引いたりしたら出てくる式です）
それを使うと単純な　(sinx)'(n)=sin(x+(nπ/2))　＊　の形が使えると思います。

4 悩んでしまいました。
＊式の応用で(sin2x)'(n)=2^n*sin(2x+(nπ/2))　というのを使います。地道に計算してみましょう。
おそらく、cosを登場させたりすると、よく分からなくなります。ひたすら、sinの回転のみで計算です。そうすると、第ｎ次導関数は、
An*sin(2x+(n-1)π/2)+Bn*xsin(2x+(nπ/2))
のような形になります。（An、Bnは推定して機能法で証明するか、第ｎ次導関数とそれを一度微分した、ｎ+1次導関数との間での、係数に関する漸化式を解くか、してください）

お礼

解答ありがとうございました。
結局ダメだったのですが、学校からの解答を待ちます。

回答No.2

arrysthmia

(2)
f(x) = log{(1-x^2)^(1/2)} だとすると、
f ' (x) = (-x)/(1-x^2) です。
これの計算間違いかな。
この続きは、(1)同様、部分分数分解で。

f(x) = {log(1-x^2)}^(1/2) だとすると、
f ' (x) = (-x)/{(1-x^2)log√(1-x^2)} となって、
この辺でオテアゲという感じです。
{f(x)}^2 = log(1-x^2) の両辺をn階微分して、
左辺のライプニッツ公式から
nに関する漸化式を作る…という方法もありますが。
http://sci-tech.ksc.kwansei.ac.jp/~yamane/pi_is_irrational.pdf#search='ライプニッツ 公式'

(3)(4)
n次導関数の、nが偶数の場合と奇数の場合を
別個に求めると、少し扱いやすくなります。

お礼

回答ありがとうございました。今日もがんばってみたのですが、ダメでした。
とりあえず、学校からの解答を待ちます。