論理式の計算がわかりません

質問

問題でこんなのがありました。

［￢PV（QかつR）］V（Qかつ￢R）≡PVQ

このような問題はベン図を書いて考えるのでしょうか。
それとも真理表を使いますか？
真理表で左右の同値を考えればいいのかなと思うのですが、
それも今一つわかりません・・・

どのように考えればいいのかまったく分からずです。
どうかお願いします。

回答No.5

info22 · ベストアンサー

#2,#4です。
A#4の補足質問に対する回答

> (1)　○
> (2)次にQかつRを考えます。するとQかつRの中にはQかつRかつPも含まれることにならないでしょうか。（色を塗るなら木の葉型）

含まれますが、「(￢P) ∨（Q∧R)」のうちの（Q∧R)に含まれるので、何の問題もないですね。

少し詳しく書けば以下のようになります。
Q∧R = (Q∧R)∧{P∨(￢P)}
= {(Q∧R)∧P} ∨ {(Q∧R)∧(￢P)}

{(Q∧R)∧P}　が　Pの中に含まれる(Q∧R)<木の葉>の一部　…(A)
{(Q∧R)∧(￢P)}　が　Pの外の(Q∧R)<木の葉>の部分　…(B)
です。
この２つの領域はQに含まれますので　(￢PVQ)　の一部になります。

>　※もしくはこのときに「Pを含まない」QかつRを選択すればよいのでしょうか。

両方とも選択すればいいです。
<木の葉>領域（A）の領域は「(￢P) ∨（Q∧R)」の（Q∧R)の方に含まれ、(B)の領域は　「(￢P) ∨（Q∧R)」の(￢P)の方に含まれます。

> こう考えると、［￢PV（QかつR）］はQとなることが理解できます・・

Qとなりませんよ。(B)の領域になります。

お礼

この問題は実はもっと長い問題です。
解答の途中までは理解できたのですが、最後のこの一文
［￢PV（QかつR）］V（Qかつ￢R）≡￢PVQ
で止まってしまい、悩んでいました。

最近少しだけ論理の勉強をはじめたので、まったくの素人ですが、
info22さんのおかげで大変勉強させていただきました。

また機会がありましたら、質問させていただきたく思います。
お忙しい中お時間をさいていただき、ありがとうございました！！

補足

わかりました！本当にうれしいです！
あとお恥ずかしい話ですが、info22さんの説明を読ませていたただいて、私は大きな勘違いからスタートをしていたこともわかりました。

それは
［￢PV（QかつR）］V（Qかつ￢R）≡￢PVQ
において、［￢PV（QかつR）］は￢P、（Qかつ￢R）はQのことだと
思っていたので、なぜベン図を書いて理解できるのか、悩んでいました・・・しかしそこがまちがいの元凶でした。

今日突然すべてが理解できたので、本当に助かりました。
ここまで細かく教えていただき感謝の言葉もありません。
ありがとうございました！

回答No.6

Tacosan

∨や∧は (可換かつ) 結合的だよ.

お礼

ありがとうございました！みなさまのおかげで大変勉強になりました！

回答No.4

info22

#2です。
A#2の補足質問について
> ［￢PV（QかつR）］V（Qかつ￢R）≡￢PVQでした。
今度の論理式は正しくなりました。

> あとベン図で￢PV（QかつR）の部分を考えると、
> QかつRを考えるとき、全体集合の中にQ、P、Rの集合を一緒に考えれば
> いいでしょうか。
数学の文章は国語の文章ではないですから短く的確に区切って書いて下さい。

ベン図は、色の3原色混合のような３つの円が互いに交差するように描いて、それぞれの円内を論理変数P,Q,Rに割り当てます。そして3円を全て含むように、全体集合を表す四角で囲みます。

そして、部分論理式とベン図を常に対比して考えます。
したがって、部分論理式の領域をベン図上に描く時は、P,Q,Rの内部や外部の￢P,￢Q,￢R領域を一緒に扱わないといけませんね。

> そうなると、QかつRを考えるとき、Rも少し入ると考えてはいけないのでしょうか。
意味不明で理解不能です。

> しかし、次の段階の￢PVとの関係を含めて考えると、最終のベン図はP以外＋ちょっとPも入るといった図になってしまい、￢Pにはならないと思ってしまって悩みます・・・
国語の文章と違いますので、数学の文章は、短く区切って単純明快に書いてください。あなたが混乱しているだけです。あなたが単純明快に理解できているなら、理解し辛い文章を書かれないでしょうから。

正しいベン図をしっかり描くこと、そして論理式の演算子の優先順位にしたがって順々にベン図を八チングで塗りつぶしていくだけです。

そう言った図を順々に描いて並べながら、証明の説明文を書いていけばいいでしょう。

演算の順序の優先順位は
（ ）と[] ＞　￢　＞　かつ（∧）＞　または（∨）
また（　）や［ ］は内部の括弧ほど優先順位が高いですね(先に論理演算する。つまりその部分の論理式の領域をベン図に先に書き込む)。

補足

ご指摘の通り、乱文でした。大変失礼いたしました。

(1)まず全体集合の中に、色の三原則のような３つの輪を書きます。
それぞれP,Q,Rとします。

(2)次にQかつRを考えます。するとQかつRの中にはQかつRかつPも含まれることにならないでしょうか。（色を塗るなら木の葉型）

※もしくはこのときに「Pを含まない」QかつRを選択すればよいのでしょうか。

こう考えると、［￢PV（QかつR）］はQとなることが理解できます・・

申し訳ありませんが、もう一度お願いいたします。

回答No.3

Tacosan

ベン図とか描いてもいいけど, 単純にゴリゴリ計算するだけです.
(Q∧R)∨(Q∧￢R) = Q に気付けばほぼ一瞬.

補足

(Q∧R)∨(Q∧￢R) = Qはわかります！
ただ、そこからどうして［￢PV（QかつR）］V（Qかつ￢R）≡￢PVQになるのがわかりません。［￢PV（QかつR）］は中カッコがついてるので、そこはどう考えたらいいのでしょうか？もしくは「V（または）」なので無視していいのでしょうか。
［￢PV（QかつR）］V（Qかつ￢R）≡￢PVQは
￢PV（QかつR）V（Qかつ￢R）≡￢PVQと同じと考えていいのでしょうか。そうなると（QかつR）V（Qかつ￢R）部分がQとなるので、
結果￢PVQと考えていいのでしょうか。

回答No.2

info22

>ベン図を書いて考えるのでしょうか。
その通りです。

> ［￢PV（QかつR）］V（Qかつ￢R）≡PVQ
この論理式は成立しません。
［P V（QかつR）］V（Qかつ￢R）≡P V Q
なら成立します。

補足

すみません！まちがいました。
［￢PV（QかつR）］V（Qかつ￢R）≡￢PVQでした。
あとベン図で￢PV（QかつR）の部分を考えると、
QかつRを考えるとき、全体集合の中にQ、P、Rの集合を一緒に考えれば
いいでしょうか。そうなると、QかつRを考えるとき、Rも少し入ると考えてはいけないのでしょうか。しかし、次の段階の￢PVとの関係を含めて考えると、最終のベン図はP以外＋ちょっとPも入るといった図になってしまい、￢Pにはならないと思ってしまって悩みます・・・

回答No.1

koko_u_

>このような問題はベン図を書いて考えるのでしょうか。
>それとも真理表を使いますか？
変数が３つくらいまでならベン図でもいけるでしょう。
真理表の方が簡単明瞭ですが。

お礼

すみません！今ひらめきました！

※上に書かせていただたいたように、問題文が打ち間違えていました。
［￢PV（QかつR）］V（Qかつ￢R）≡￢PVQ が正しい文です。

よく見ると真理表が間違っていました。
あとはベン図が書けるように頑張ります！
ありがとうございました。

補足

大変申し訳ありませんが、真理表の使い方がイマイチわかりません・・
どうか教えてください。お願いします。