(3x-6)/(x-1)≧-3x+6を満たすxの値の範囲

質問

これを計算するとx≦0,2≦xになりますよね。
しかし、答えは0≦x<1,2≦xでした。
確かに図を書いてみるとそう確認できるのですが、計算のみではこの答えは導けないのですか？
教えてください、よろしくお願いします。

回答No.3

arrysthmia · ベストアンサー

x≦0,2≦xというのは、(3x-6)/(x-1)≧-3x+6を
3x-6≧(-3x+6)(x-1)と変形してしまったのでしょうが、
とりあえずx-1の符号が分からないので、
その変形はできません。

(-6)/(-2)≧0から-6≧0(-2)=0が言えないことは
分かりますね？

x-1の正負で場合分けして話を進めるのが正統です。
両辺に(x-1)^2を掛けてしまう手もありますが…

お礼

＞とりあえずx-1の符号が分からないので、
＞その変形はできません。
ここがポイントだったんですね。具体例もあり、よくわかりました。
ありがとうございました。
他に回答してくださった方もとても参考になりました。
この場でですがお礼をさせていただきます。ありがとうございました。

回答No.4

nettiw

>>(3x-6)/(x-1)≧-3x+6

(x-1)の符号が正の時と、負の時があるので、
単に両辺に(x-1)を掛けると、
誤答になります。

　x≠１・・・（Ａ）

両辺を３で割って、
　(x-2)/(x-1)≧-(x-2)

この形の不等式は、
[(x-1)^2]を両辺に掛けるのが定跡になっています。

　(x-2)(x-1)≧-(x-2)[(x-1)^2]
　(x-1)(x-2)[x-1+1]≧0
　x(x-1)(x-2)≧0
３次不等式になりますが、
y=x(x-1)(x-2)のグラフを描くと、
xの範囲は、すぐに分かります。

　0≦x≦1, 2≦x・・・（Ｂ）

（Ａ）、（Ｂ）を合わせて、
　0≦x＜1, 2≦x　となります。

回答No.2

sanori

こんばんは。

まずは、式を簡単にします。
（３ｘ－６）／（ｘ－１）　≧　－３ｘ＋６　＝　－（３ｘ－６）
両辺を３で割って
（ｘ－２）／（ｘ－１）　≧　－（ｘ－２）
ｔ＝ｘ－２　と置いて、
ｔ／（ｔ＋１）　≧　－ｔ
ひとまず式が出来上がりました。

ここで場合分け。

Ａ　ｔ＜－１　　　不等式は（※）　ｔ　≦　－ｔ（ｔ＋１）
Ｂ　ｔ＝－１　　　分母がゼロになるのでダメ
Ｃ　－１＜ｔ＜０　　不等式は　ｔ　≧　－ｔ（ｔ＋１）
Ｄ　ｔ＝０　　不等式は　ｔ　≧　－ｔ（ｔ＋１）
Ｅ　ｔ＞０　　不等式は　ｔ　≧　－ｔ（ｔ＋１）
（※：　ｔ＋１が負のときだけ、両辺にｔ＋１をかけると不等号が反転する。）

以下、Ａ、Ｃ、Ｄ、Ｅ　それぞれについて検討。

Ａ　ｔ＜－１
ｔ　≦　－ｔ（ｔ＋１）
ｔは負なので、両辺をｔで割ると不等号の向きが変わる。
１　≧　－（ｔ＋１）
ｔ≧－２
つまり、ｔ＜－１　かつ　ｔ≧－２
よって、－２≦ｔ＜－１　は解の一つ。

Ｃ　－１＜ｔ＜０
ｔ　≧　－ｔ（ｔ＋１）
ｔは負なので、両辺をｔで割ると不等号の向きが変わる。
１　≧　－（ｔ＋１）
ｔ≧－２
つまり、－１＜ｔ＜０　かつ　ｔ≧－２
よって、Ｃの範囲では解がない。

Ｄ　ｔ＝０
ｔ　≧　－ｔ（ｔ＋１）
ｔ＝０を代入すると成り立つ。
よって、ｔ＝０　は解の一つ。

Ｅ　ｔ＞０
ｔ　≧　－ｔ（ｔ＋１）
ｔは正なので、両辺をｔで割っても不等号の向きは変わらない。
１　≧　－（ｔ＋１）
ｔ≧－２
つまり、ｔ＞０　かつ　ｔ≧－２
よって、ｔ＞０　は解の一つ。

以上のことから、
Ａ　－２≦ｔ＜－１
または
Ｄ　ｔ＝０
または
Ｅ　ｔ＞０

－２≦ｔ＜－１、　ｔ≧０

ｔ＝ｘ－２　を代入すれば、できあがり。

回答No.1

opechorse

分数の問題では、分母が0になるときとその前後で場合わけをするのが基本です

今回の場合
左辺の分母が0→X=1のとき
－∞＞＝6　は矛盾だから成り立たない
X＜1のとき
X－１＜0　3X-6＜0　だから
3X-6＜＝－(3X-6)(X-1)
1＞＝－X＋1
X＞＝0

X＞1のとき
X-1＞0だから
3X-6＞＝－(3X-6)(X-1)
3X－6＞＝0のとき→X＞＝2のとき
1＞＝－X＋1
X＞＝0
3X－6＜＝0のとき→X＜＝2のとき
3X－6＜＝－(3x－6)(X-1)
1＜＝X－1
X>=2　よって前提条件と矛盾するので成り立つ数はない
以上を満たす条件は
0≦x<1,2≦x