√(A-x^2)の不定積分が解けません

質問

0から√Aまでの定積分だとAπ/4になると思うのですが、
不定積分だと難度が高く解きかたがわからなくなりました。

教科書や参考書を見ても、√(x^2+A)の不定積分の解き方は載っていても
(A-x^2)の不定積分は例題どころか演習問題でも見つけられませんでした。

解き方のヒントや類似の問題を教えていただけ無いでしょうか。
よろしくお願いします。

回答No.2

kkkk2222 · ベストアンサー

>>0から√Aまでの定積分だとA（π/4）。
yes。

>>教科書や参考書に、
（不定積分）が記載されるか否かは、
（不定積分）が（逆三角関数）を必要とするどうかに、
依存します。

>>√(x^2+A)の（不定積分）は、
（手順が複雑であっても）、
逆三角が不要のため記載されています。

>>√(A-x^2)や、1/(A+(x^2))なども、
（不定積分）は逆三角が必要なので、記載されません。

>>定積分では、
置換した状態で（特殊なxの範囲では、）
数値が求まるので記載されます。
つまり、数値が求められる問題は記載されます。

>>解き方のヒントや類似の問題
逆三角を学習すれば容易ですが、
そうでない場合は回答しても・・・。

結果だけ書いて終わります。
>>√(A-x^2)の不定積分は、
(1/2){ { x*√(A-(x^2))}+{A*arctan( x/(√(A-(x^2)) )} }＋Ｃ
と表現されます。

お礼

なるほど、逆三角関数がポイントなんですね！！
言われてみれば確かに逆三角関数よりも前の単元を
参照していたと思います。
今度から積分の問題を考えるときにも非常に参考になります。
分かりやすい説明ありがとうございました。

回答No.1

joggingman

Ａ＞０ですから、Ａ＝a^2　とします。

∫√(a^2-x^2)dx
x=a・sinθと置換して、
∫√{a^2-a^2・(sinθ)^2}　a・cosθ　dθ
＝(a^2)∫(cosθ)^2 dθ
＝(a^2)∫{cos(2θ)+1}/2 dθ
＝(a^2/4)sin(2θ)+(a^2/2)θ ＋Ｃ
θ→ｘに戻すと、
sinθ=x/a、cosθ=√{1-(x/a)^2}={√(a^2-x^2)}/a
sin(2θ)=2sinθcosθ={2x√(a^2-x^2)}/a^2
θ=arcsin(x/a)
よって、
(a^2/4){2x√(a^2-x^2)}/a^2 +(a^2/2)arcsin(x/a) ＋Ｃ
=(1/2)x√(a^2-x^2) +(a^2/2)arcsin(x/a) ＋Ｃ

お礼

x=a・sinθ　ということは円として考えたらいいんですね。
最初は円の一部分の面積を積分で求めたかったんですが、
直交座標で考えていたためθを使うという発想が
でてきませんでした。
考えながら解いてじっくり見直してみます。
丁寧な解説ありがとうございました。