気体分子運動論について

質問

気体分子の速さは全て等しいと仮定したとき、単位体積中の分子数をnとすると、
θとθ＋dθの方向を向く分子の数は　　
　　　　　　　　(1/2)×nsinθdθ
で、ここまでは納得できるのですが、これに円柱の体積vcosθdtをかけるだけで、面に衝突する分子数が出るというのがどうも納得いきません。三次元のことなので、θを一定に面を通る軸の回りを一周させた分の体積をかけないといけないような気がするのですが、このあたかも当たり前のような事がよく分かりません。納得のいく説明をお願いします。

回答No.2

physicist_naka · ベストアンサー

No.1の補足に対して。
いまひとつ疑問点がわからないのですが、以下の答えで的を得ている
でしょうか?

「0からπ/2まで積分」ですが、0からπまで積分しないといけないの
では？という意味でしょうか。しかしもしそうしてしまうと、π/2
からπの部分は壁から反対方向に動く分子を表していますので、壁
には衝突しません。
壁の面の気体のある側に円柱を考えますが、No.1の補足には反対側に
円柱を考えているようですね。どうもそこに何か勘違いがあるような
気がします。

それからもう一つ、積分はθ方向以外にφ方向も積分しないといけな
いのでは？という疑問でしょうか。しかしφ方向の積分はもう既に
済んでしまっています。
θとθ＋dθの方向を向く単位体積あたりの分子数
　(1/2)×nsinθdθ
は、全てのφ方向の足しあわせになっているからです。

お礼

補足回答有難うございます！そうです！特に疑問を感じていたのはこれです↓
>それからもう一つ、積分はθ方向以外にφ方向も積分しないといけないのでは？という疑問でしょうか。しかしφ方向の積分はもう既に
済んでしまっています。
θとθ＋dθの方向を向く単位体積あたりの分子数
　(1/2)×nsinθdθ
は、全てのφ方向の足しあわせになっているからです。
だいたい分かってきました。でもまだ何かパッとしないので自分なりの考え方を補足に書いておいたので考え方がおかしかったら指摘お願いしますm(__)m

補足

(1)空間をランダムに動き回っている気体分子の速さは全て等しくvとします。
(2)そのランダムに動き回っている分子を単位体積の球の中心に向かうように配置する。すると、分子は単位体積の球の中心に対して均等に分布している。
(3)このとき、単位体積あたりの分子数をnとすると、θとθ＋dθの方向を向く単位体積あたりの分子数は
　　　　　　　　(1/2)×nsinθdθ
となる。これには(壁の向こう側に配置されている分子＝壁にぶつかって跳ね返ってくる分子)も含まれている。しかし、θの範囲を0からπ/2にすれば壁に向かっていく分子に限定される。
(4)θとθ＋dθの方向を向く単位体積あたりの全分子数(0から2πまでのφ)の中で角度φを一つ固定する。このときθとθ＋dθの方向を向く単位体積あたりの分子数をm(φ)とすると、
　(1/2)×nsinθdθ＝∫[from 0 to 2π]m(φ)dφ　(＊)
また、固定されたある角度φでθとθ+dθの方向から壁の単位面積に微少時間dtの間に衝突する分子数M(φ)は
　　　　 M(φ)＝m(φ)×vcosθdt
したがって、θとθ+dθの方向から壁の単位面積に微少時間dtの間に衝突する全分子数Nは
　　　　　　N＝∫[from 0 to 2π]M(φ)dφ
　　　　　　＝vcosθdt∫[from 0 to 2π]m(φ)dφ
＝vcosθdt×(1/2)×nsinθdθ（∵(＊)）
となる。これで、結構いいと思うんですけど、回答お願いします！

回答No.6

physicist_naka

私としてはどうしても容器の中の実際に考えている部分をはっきり
させないと説明できそうにありません。
その方が私にはわかりやすいですし。すると、つまらない結果で
恐縮ですが、結局No.1のような説明になってしまいます。

お礼

あんまり細かく考えない方が良いという事ですかね(^^)
でも、質問以前よりは理解が深まりました。
また何か分からない事があったらよろしくお願いします！
本当にありがとうございました！！

回答No.5

physicist_naka

No.4の補足に対して。

んー、つまり容器内のどの部分を考えても構わないということですね。
> どのVi(i=1,2,…,n)の中でも分子は単位体積を見れば分子数はn個となっ
> ているはず
とのことですが、これはその通りでしょう。しかし、なぜこれが言えるから
容器内のどの部分を考えても構わないとなるのでしょうか？
やはり単純な疑問として、壁から離れている部分を考えれば、そこの
分子は壁に衝突できないと思ってしまいます。
なかなか真意がつかめず、むしろ私の方が質問者になっているような気が
してきました。もしご自分で納得されているのであれば締め切っていただ
いて構いませんので。

お礼

回答有難うございます。う～ん、なんかこの問題そこの部分がパッとしませんね。完全に納得はできていません。自分ではそこの部分(>壁から離れている部分を考えれば、そこの分子は壁に衝突できないと思ってしまいます。)も含めてうまく説明できません。physicist_nakaさんならこの部分どのように説明しますか？

回答No.4

physicist_naka

No.3の補足に対して。

容器の中のある単位体積を空間Aに持ってきて、それから球状に配置し、
次にそれを容器の壁に配置するのですね？
んー、難しいことをしていますね。
はじめの単位体積の部分は容器の壁に隣接する部分から持ってこないと
いけないのではないでしょうか?そうしないと壁に衝突しない分子を考
えることになると思うのですが・・・
それともそういう意味ではないのでしょうか？
配置をしなおして考えているので、配置する前の実際に考えている部分
をはっきりさせておかないと、非常にわかりにくいのです。

お礼

補足回答ありがとうございます。だんだん最初の質問内容と方向がずれて行ってしまって自分の考えに付き合っていただき本当にすいません。ありがとうございますm(__)m
＞はじめの単位体積の部分は容器の壁に隣接する部分から持ってこないといけないのではないでしょうか?そうしないと壁に衝突しない分子を考えることになると思うのですが・・・
　その通りでそれが本質的だと思います。でもこう考えればどうでしょうか。容器内の全空間の体積を例えばＶとし、それをn個の適当な大きさの空間V1,V2,…,Vnに分割するとV=V1+V2+…+Vnで、どのVi(i=1,2,…,n)の中でも分子は単位体積を見れば分子数はn個となっているはずだと思います。
　これでは納得いただけないでしょうか？回答お願いします。

回答No.3

physicist_naka

No.2の補足に対して。

間違いではないですが、

> (2)そのランダムに動き回っている分子を単位体積の球の中心に向かう
> ように配置する。すると、分子は単位体積 の球の中心に対して均等に
> 分布している。

のところが、少しわかりにくかったです。
単純に壁の部分に単位体積の球を描いてしまうと、壁から遠くにある球内の
分子は壁に衝突するまでに時間がかかってしまうので、その時間があれば
球の外側の分子の一部も衝突してしまいます。
でも、そういう意味ではないですよね。
壁に隣接する(vcosθdt)^(-1)の面積を持った、高さvcosθdtの単位体積の
円柱を暗に考えていて、その円柱内の分子を球状に配置しなおすということ
ですね。
ひょっとしたらそういうつもりではなかったかもしれませんが、
そのあたりをわかりやすくすればよかったと思います。

後の部分はいいと思います。

お礼

補足回答の指摘有難うございます！
＞単純に壁の部分に単位体積の球を描いてしまうと、壁から遠くにある球内の分子は壁に衝突するまでに時間がかかってしまうので、その時間があれば球の外側の分子の一部も衝突してしまいます。
　これは凄く納得できました。しかし、
＞壁に隣接する(vcosθdt)^(-1)の面積を持った、高さvcosθdtの単位体積の円柱を暗に考えていて、その円柱内の分子を球状に配置しなおすということですね。
この文章で『(vcosθdt)^(-1)の面積』っていうのは非常に大きなものになってしまいいけないですよね？？
　これも考えて理論を訂正し、補足に書きます。再び指摘お願いします。

補足

(1)容器の中の空間をランダムに動き回っている気体分子の速さは全て等しくvとします。(実際には速度分布があるがここではそこは簡単化した議論をする。)

(2)容器の全空間に対する単位体積あたりの分子数をnとすると、この単位体積中のランダムに動きまわっている分子n個を容器とは別の空間Aで球の中心に向かうように球状に配置し直す(速度ベクトルなので移動可)。すると、分子はランダムに動き回っているので球の中心に対して均等に分布させる事ができるはずである。

(3)このとき、その球(単位体積)の中心に対してθとθ＋dθの方向を向く分子数は
　　　　　　　　(1/2)×nsinθdθ
となる。これを空間Aから容器の壁のところに移し、球の中心と壁の微小面積dSの中心を重ね合わせる。するとこの球(単位体積)の中には(球中で壁の向こう側に配置されている分子＝壁から遠ざかる分子)も含まれている。しかし、θの範囲を0からπ/2にすれば壁に向かっていく分子に限定される。

●この議論により＞単純に壁の部分に単位体積の球を描いてしまうと、壁から遠くにある球内の分子は壁に衝突するまでに時間がかかってしまうので、その時間があれば
球の外側の分子の一部も衝突してしまいます。
の問題は解決されたと思います。

(4)壁の微小面積dSの中心に対してθとθ＋dθの方向を向く単位体積あたりの全分子数(0から2πまでのφ)の中で角度φを一つ固定する。このときθとθ＋dθの方向を向く単位体積あたりの分子数をm(φ)とすると、
　(1/2)×nsinθdθ＝∫[from 0 to 2π]m(φ)dφ　(＊)
また、固定されたある角度φでθとθ+dθの方向から壁の微小面積dSに微少時間dtの間に衝突する分子数M(φ)は
　　　　 M(φ)＝m(φ)×vcosθdt×dS
したがって、θとθ+dθの方向から壁の微小面積dSに微少時間dtの間に衝突する全分子数Nは
　　　　　　N＝∫[from 0 to 2π]M(φ)dφ
　　　　　　 ＝vcosθdtdS∫[from 0 to 2π]m(φ)dφ
＝vcosθdtdS×(1/2)×nsinθdθ（∵(＊)）
となる。
　ゆえに、θとθ+dθの方向から壁の単位面積dSに微少時間dtの間に衝突する全分子数Wは
　　　　　　W＝N/dS
＝vcosθdt×(1/2)×nsinθdθ
これで良いかいけないか指摘お願いします！

回答No.1

physicist_naka

衝突する単位面積の円の面を考えます。さらにそれを底面とする高さｈが非常
に小さい円柱（ほとんど円盤）を考えます。この円柱の中の分子のうち、ｄｔ
の時間に角度θとθ＋dθの方向を向く分子が全部面に衝突するには、
　ｈ＝vcosθdt　　　　　　　　　（1）
である必要がありますね。これより遠くにいる分子は衝突できません。
θとθ＋dθの方向を向く単位体積あたりの分子数
　(1/2)×nsinθdθ　　　　　　　（2）
に、円柱の体積１×ｈをかけたもの
　(1/2)×nsinθvcosθdθdt　　　（3）
が、円柱の中にあるθとθ＋dθの方向を向く分子数ですから、これが
ｄｔの時間にθとθ＋dθの方向から単位面積の面に衝突する分子数と
なります。

お礼

回答有難うございます。それは分かるんです。質問内容がうまく伝わりにくいかもしれませんが、何が分からないかと言うと分子の全運動量を変化を考えたときに、単位時間に壁の単位面積に衝突する分子の運動量変化が－2mvcosθ×(1/2)nvcosθsinθdθを0から(π/2)まで積分するだけでよいというのが分からないのです。それだと三次元空間のθの一次元分の計算しか行ってないように思えるのですが、そこを教えていただきたいのです。

補足

何かを勘違いしているから分からないのかもしれないのでどういう風に勘違いしているのか指摘お願いします。vcosθdtをかけて0からπ/2まで積分すると、例えば、積分する前に円柱を面を通る軸から下で円柱を書いてそれを0からπ/2まで積分したときそれは軸から一方向の平面だけの分しか計算に含まれていないと思うんです。軸から上の分や軸回りの部分の分子は積分の計算に含まれていないのでは？？と思うのです。回答よろしくお願いします！！