２つの放物線

質問

前に、問題をちらりと見たことがあり、内容は覚えていたので解こうとしてがんばったのですが、どうしてもできません。
問題は、
「軸の直交する二つの放物線が異なる４点で交わるとき、この４点は同一円周上にあることを示せ」
なのですが、
二つの放物線をa,b,c,d,e,fの６つの文字を使って表し、交点を求めてみたのですが、文字が多すぎて、また文字を減らせそうに無く、断念してしまいました。他の方法も思いつきません。
どこを探しても解答が見つからず、ずっともやもやしております。
高校一年生くらいの知識でも解けるのでしょうか？
それが無理でも、難しくてもいいので、解答を教えてください！
ちなみに、やはり座標平面で考えて見るのがいいですよね？
でも、式だけでも解けそうな気がします。
図形で解くパターンと、式だけで解くパターン、どちらも教えていただけたら・・・と思っております。

回答No.6

qqqqqhf

ANo.3 は間違いです。

補足

ああ、そういうことですか。No.4への補足は勘違いです。すみませんでした。無かったことにしてください。

回答No.5

take_5

＞「幾何学的に」図形処理できないでしょうか？

幾何学的とは、ユークリッドでという意味だろうか？

三角関数を使えば出来ると思いますが？

4交点をＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄとし、ＡＢ＝a、ＢＣ＝b、ＣＤ＝c、ＤＡ＝dとする。
∠ＡＢＣ＝θとすると、四辺形ＡＢＣＤが円に内接するなら、a＾2＋b＾2-2ab*cosθ＝c＾2＋d＾2＋2cd*cosθが成立する事を証明し、
逆にa＾2＋b＾2-2ab*cosθ＝c＾2＋d＾2＋2cd*cosθが成立する時、四辺形ＡＢＣＤは円に内接する事を証明する。

これしか、考え付かないんですが。。。。。。

お礼

ありがとうございます。そのような意味で理解してくれて大正解です。

「図形処理」というのを具体例で示すと、円の弦の長さからその弦と円の中心との距離を求めるときのようなものです。式だけで解こうとすると、「円と直線が２点で交わる」、「２点の距離」などを考えないといけませんが、図形で考えると、三平方の定理で簡単に求まります。

こんなイメージで「図形処理」という注文もしました。

分かりづらくてすみませんでした。（これでも少し分かりにくいような気はしますが・・・）

回答No.4

qqqqqhf

2つの2次曲線が異なる4点で交わるとき、その4点は同一円周上にある。

というのは間違いです。

補足

「軸が直交する」という条件があります。

回答No.3

take_5

4点を通る2つの2次曲線：f（x、y）＝0‥‥(1)、g（x、y）＝0‥‥(2)が異なる4点で交わるとき、2次曲線：α*f（x、y）＋β*g（x、y）＝0‥‥(3)は、その4点を通るから、同一円周上にあるようにαとβを定める事が出来る。従って、その4点は同一円周上にある。
但し、2次曲線は、2直線である場合も含めている。

証明
(1)と(2)の4つの交点のひとつを（x1、y1）とすれば、f（x1、y1）＝0、g（x1、y1）＝0　∴　α*f（x1、y1）＋β*g（x1、y1）＝0
これは、(3)が点（x1、y1）を通ることを示している。
他の3つの交点を通る事の証明も、全く同様。

所謂“直線束”の延長に過ぎない。何も、直交する2つの放物線に限らない。

お礼

ありがとうございました。助かりました。
ちなみに、xy平面状に図形を描き、「幾何学的に」図形処理できないでしょうか？これに関する解答もお寄せいただければ幸いです。

回答No.2

info22

参考URLをご覧ください。

参考URL：

http://www.tcp-ip.or.jp/~takahara/lvl3an2.htm

お礼

ありがとうございます
・・・載ってたんですね。
やはり、一人で探していると見つからないものです。
教えていただきありがとうございました。

回答No.1

koko_u_

>また文字を減らせそうに無く
平行移動くらいしましょう。

そして交点そのものズバリを求めるのではなく、交点が満たす関係式を考えるのがよいでしょう。
# 解いてないけどね。